Subgroups — #60822

Order 256.

1097 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3224	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3045	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3012	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#556	—	2	1	no	—
19	#555	—	2	1	no	—
20	#554	—	2	1	no	—
21	#553	—	2	2	no	—
22	#550	—	2	1	no	—
23	#550	—	2	1	no	—
24	#548	—	2	2	no	—
25	#547	—	2	1	no	—
26	D₄²	—	2	1	no	—
27	D₄²	—	2	2	no	—
28	D₄²	—	2	2	no	—
29	D₄²	—	2	1	no	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#537	C₂²	1	2	yes	—
32	#535	C₂²	1	4	yes	—
33	#535	C₂²	1	2	yes	—
34	#533	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	2	yes	—
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
42	#520	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#495	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
60	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
62	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
64	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
65	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
66	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#408	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
92	#135	—	4	8	no	—
93	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#127	—	2	2	no	—
108	#127	—	2	1	no	—
109	#127	—	2	1	no	—
110	#127	—	2	2	no	—
111	#127	C₂³	1	2	yes	—
112	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#127	C₂³	1	4	yes	—
114	#127	C₂³	1	2	yes	—
115	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#126	—	2	4	no	—
117	#125	—	2	2	no	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	2	no	—
120	#124	C₂³	1	4	yes	—
121	#124	C₂³	1	2	yes	—
122	#124	C₂³	1	2	yes	—
123	#123	—	2	4	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
128	#121	—	2	2	no	—
129	#121	—	2	4	no	—
130	#121	—	2	1	no	—
131	#121	—	2	2	no	—
132	#121	—	2	1	no	—
133	#121	—	2	2	no	—
134	#121	—	2	1	no	—
135	#121	—	2	1	no	—
136	#121	—	2	2	no	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	2	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	C₂³	1	4	yes	—
142	#120	—	2	4	no	—
143	#120	—	2	4	no	—
144	#120	—	2	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	1	no	—
157	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
159	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	#117	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
173	#103	C₂³	1	8	yes	—
174	#102	C₂³	1	8	yes	—
175	#102	C₂³	1	8	yes	—
176	#102	C₂³	1	8	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	#97	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	8	no	—
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	#41	—	8	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
195	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	1	no	—
203	C₂×D₄	—	2	1	no	—
204	C₂×D₄	—	2	1	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	8	2	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	2	no	—
221	C₂×D₄	—	8	4	no	—
222	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	4	4	no	—
239	SD₁₆	—	4	4	no	—
240	SD₁₆	—	4	4	no	—
241	SD₁₆	—	4	8	no	—
242	D₈	—	4	4	no	—
243	D₈	—	4	8	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	8	4	no	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	D₄	—	2	4	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	2	4	no	—
302	D₄	—	2	8	no	—
303	D₄	—	2	4	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	16	4	no	—
361	C₂²	—	16	8	no	—
362	C₂²	#535	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	#535	1	2	yes	—
373	C₄	#576	1	2	yes	—
374	C₄	#577	1	2	yes	—
375	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	—	8	2	no	—
379	C₂	—	8	4	no	—
380	C₂	—	8	2	no	—
381	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3511	C₂	semidirect
2. #3498	C₂	semidirect
3. #3224	C₂	semidirect
4. #3210	C₂	semidirect
5. #3208	C₂	semidirect
6. #3207	C₂	semidirect
7. #3205	C₂	semidirect
8. #3151	C₂	semidirect
9. #3147	C₂	semidirect
10. #3141	C₂	semidirect
11. C₂×#486	C₂	semidirect
12. #3045	C₂	semidirect
13. #3012	C₂	semidirect
14. #2922	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
17. C₂×#135	C₂²	semidirect
30. #542	C₂²	semidirect
34. #533	C₂²	semidirect
37. #532	C₂²	semidirect
38. #532	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
42. #520	C₂²	semidirect
44. #496	C₂²	semidirect
45. #495	C₂²	semidirect
46. #494	C₂²	semidirect
47. #493	C₂²	semidirect
48. #493	C₂²	semidirect
49. #492	C₂²	semidirect
50. #492	C₂²	semidirect
51. #492	C₂²	semidirect
52. #489	C₂²	semidirect
53. #487	C₂²	semidirect
54. #486	C₂²	semidirect
55. #486	C₂²	semidirect
56. #486	C₂²	semidirect
57. #486	C₂²	semidirect
58. #464	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #460	C₂²	semidirect
61. #459	C₂²	semidirect
62. #452	C₂²	semidirect
63. #450	C₂²	semidirect
64. #449	C₂²	semidirect
65. #447	C₂²	semidirect
66. #433	C₂²	semidirect
67. #431	C₂²	semidirect
68. #431	C₂²	semidirect
69. #424	C₂²	semidirect
70. #417	C₂²	semidirect
71. C₂×#102	C₂²	semidirect
73. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
74. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3498	2
#3224	2
#3210	2
#3208	2
#3207	2
#3205	2
#3151	2
#3147	2
#3141	2
C₂×#486	2
#3045	2
#3012	2
#2922	2