Subgroups — #60823

Order 256.

1027 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3512	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3223	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3222	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3221	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3212	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3211	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#488	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#3013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#553	—	2	4	no	—
25	#553	—	2	2	no	—
26	#552	—	2	2	no	—
27	#548	—	2	2	no	—
28	#546	—	2	4	no	—
29	#546	—	2	2	no	—
30	#541	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#540	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#537	C₂²	1	2	yes	—
33	#536	C₂²	1	2	yes	—
34	#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#535	C₂²	1	2	yes	—
36	#535	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	2	yes	—
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
44	#520	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#495	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
55	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#452	C₂²	1	4	yes	—
71	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#450	C₂²	1	4	yes	—
74	#449	C₂²	1	4	yes	—
75	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
77	#447	C₂²	1	4	yes	—
78	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
79	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
80	#431	C₂²	1	4	yes	complemented
81	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
82	#417	C₂²	1	2	yes	—
83	#417	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
86	#408	C₂²	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
89	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
90	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	1	no	—
92	C₂×#41	—	2	1	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
107	#137	—	4	4	no	—
108	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
109	#135	—	4	4	no	—
110	#135	—	4	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#127	C₂³	1	2	yes	—
129	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	#126	—	2	4	no	—
132	#126	—	2	4	no	—
133	#125	—	2	4	no	—
134	#125	—	2	2	no	—
135	#125	C₂³	1	2	yes	—
136	#125	C₂³	1	2	yes	—
137	#124	—	2	4	no	—
138	#124	—	2	2	no	—
139	#124	C₂³	1	2	yes	—
140	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#124	C₂³	1	2	yes	—
142	#124	C₂³	1	2	yes	—
143	#124	C₂³	1	2	yes	—
144	#124	C₂³	1	2	yes	—
145	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	#123	—	2	4	no	—
147	#123	—	2	4	no	—
148	#123	—	2	2	no	—
149	#123	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
154	#121	—	2	2	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	2	no	—
159	#121	—	2	2	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	#121	—	2	4	no	—
162	#121	C₂³	1	4	yes	—
163	#120	—	2	2	no	—
164	#120	—	2	4	no	—
165	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
173	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
174	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#117	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
187	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
188	#103	C₂³	1	4	yes	—
189	#103	C₂³	1	4	yes	—
190	#103	C₂³	1	4	yes	—
191	#103	C₂³	1	4	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	#102	C₂³	1	4	yes	—
194	#102	C₂³	1	4	yes	—
195	#102	C₂³	1	4	yes	—
196	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
198	#97	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
202	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	—	2	1	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	8	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	4	2	no	—
260	Q₁₆	—	4	2	no	—
261	Q₁₆	—	4	4	no	—
262	SD₁₆	—	4	2	no	—
263	SD₁₆	—	4	2	no	—
264	SD₁₆	—	4	2	no	—
265	SD₁₆	—	4	2	no	—
266	SD₁₆	—	4	4	no	—
267	SD₁₆	—	4	4	no	—
268	D₈	—	4	2	no	—
269	D₈	—	4	2	no	—
270	D₈	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	2	no	—
317	Q₈	—	2	2	no	—
318	Q₈	—	2	2	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	2	2	no	—
321	Q₈	—	2	2	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	2	2	no	—
327	D₄	—	2	2	no	—
328	D₄	—	2	4	no	—
329	D₄	—	2	2	no	—
330	D₄	—	2	2	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	4	2	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	2	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	16	2	no	—
382	C₂²	—	16	4	no	—
383	C₂²	#535	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	4	1	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	#535	1	2	yes	—
395	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	4	2	no	—
398	C₂	—	8	2	no	—
399	C₂	—	8	1	no	—
400	C₂	—	8	2	no	—
401	C₂	—	8	1	no	—
402	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3512	C₂	semidirect
2. #3500	C₂	semidirect
3. #3223	C₂	semidirect
4. #3222	C₂	semidirect
5. #3221	C₂	semidirect
6. #3220	C₂	semidirect
7. #3212	C₂	semidirect
8. #3211	C₂	semidirect
9. #3153	C₂	semidirect
10. #3147	C₂	semidirect
11. #3142	C₂	semidirect
12. C₂×#488	C₂	semidirect
13. #3046	C₂	semidirect
14. #3045	C₂	semidirect
15. #3013	C₂	semidirect
16. #3012	C₂	semidirect
17. #2922	C₂	semidirect
20. C₂×#137	C₂²	semidirect
23. C₂×#135	C₂²	semidirect
30. #541	C₂²	semidirect
31. #540	C₂²	semidirect
39. #532	C₂²	semidirect
40. #529	C₂²	semidirect
41. C₂×#125	C₂²	semidirect
44. #520	C₂²	semidirect
46. #497	C₂²	semidirect
47. #496	C₂²	semidirect
48. #495	C₂²	semidirect
49. #495	C₂²	semidirect
50. #495	C₂²	semidirect
51. #494	C₂²	semidirect
52. #493	C₂²	semidirect
53. #492	C₂²	semidirect
54. #492	C₂²	semidirect
55. #491	C₂²	semidirect
56. #490	C₂²	semidirect
57. #488	C₂²	semidirect
58. #488	C₂²	semidirect
59. #488	C₂²	semidirect
60. #488	C₂²	semidirect
61. #488	C₂²	semidirect
62. #464	C₂²	semidirect
63. #464	C₂²	semidirect
64. #463	C₂²	semidirect
65. #463	C₂²	semidirect
66. #462	C₂²	semidirect
67. #461	C₂²	semidirect
68. #460	C₂²	semidirect
69. #459	C₂²	semidirect
71. #452	C₂²	semidirect
72. #451	C₂²	semidirect
75. #449	C₂²	semidirect
76. #448	C₂²	semidirect
78. #433	C₂²	semidirect
79. #433	C₂²	semidirect
80. #431	C₂²	semidirect
81. #424	C₂²	semidirect
83. #417	C₂²	semidirect
84. C₂×#103	C₂²	semidirect
87. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
88. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3512	2
#3500	2
#3223	2
#3222	2
#3221	2
#3220	2
#3212	2
#3211	2
#3153	2
#3147	2
#3142	2
C₂×#488	2
#3046	2
#3045	2
#3013	2
#3012	2
#2922	2