Subgroups — #60824

Order 256.

1029 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3225	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3046	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3013	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
18	#556	—	2	1	no	—
19	#555	—	2	1	no	—
20	#554	—	2	1	no	—
21	#553	—	2	2	no	—
22	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
23	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
24	#548	—	2	2	no	—
25	#547	—	2	1	no	—
26	#547	—	2	2	no	—
27	#547	—	2	2	no	—
28	#547	—	2	1	no	—
29	#547	—	2	1	no	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	—
31	#537	C₂²	1	2	yes	—
32	#536	C₂²	1	4	yes	—
33	#536	C₂²	1	2	yes	—
34	#533	C₂²	1	2	yes	—
35	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#532	C₂²	1	2	yes	—
38	#532	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#520	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#497	C₂²	1	4	yes	—
45	#495	C₂²	1	4	yes	—
46	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#494	C₂²	1	2	yes	—
48	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#492	C₂²	1	2	yes	—
52	#489	C₂²	1	4	yes	—
53	#487	C₂²	1	2	yes	—
54	#487	C₂²	1	2	yes	—
55	#487	C₂²	1	4	yes	—
56	#487	C₂²	1	2	yes	—
57	#486	C₂²	1	2	yes	—
58	#464	C₂²	1	8	yes	—
59	#463	C₂²	1	8	yes	—
60	#462	C₂²	1	8	yes	—
61	#461	C₂²	1	8	yes	—
62	#452	C₂²	1	8	yes	—
63	#451	C₂²	1	8	yes	—
64	#449	C₂²	1	8	yes	—
65	#448	C₂²	1	8	yes	—
66	#433	C₂²	1	4	yes	—
67	#431	C₂²	1	2	yes	—
68	#431	C₂²	1	2	yes	—
69	#424	C₂²	1	2	yes	—
70	#417	C₂²	1	4	yes	—
71	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
72	#408	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	4	no	—
78	C₂×#41	—	2	2	no	—
79	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
87	#137	—	4	8	no	—
88	#135	—	4	8	no	—
89	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#126	—	2	4	no	—
113	#125	—	2	2	no	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	2	no	—
116	#124	C₂³	1	4	yes	—
117	#124	C₂³	1	2	yes	—
118	#124	C₂³	1	2	yes	—
119	#123	—	2	4	no	—
120	#123	—	2	4	no	—
121	#123	—	2	4	no	—
122	#123	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
131	#121	—	2	2	no	—
132	#121	—	2	4	no	—
133	#121	—	2	1	no	—
134	#121	—	2	2	no	—
135	#121	—	2	1	no	—
136	#121	—	2	2	no	—
137	#121	—	2	1	no	—
138	#121	—	2	1	no	—
139	#121	—	2	2	no	—
140	#121	C₂³	1	4	yes	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	1	no	—
148	C₄×D₄	—	2	1	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	1	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
156	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#117	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
173	#103	C₂³	1	8	yes	—
174	#103	C₂³	1	8	yes	—
175	#103	C₂³	1	8	yes	—
176	#102	C₂³	1	8	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	#97	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	4	8	no	—
188	#41	—	4	16	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	8	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
199	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	1	no	—
209	C₂×D₄	—	2	1	no	—
210	C₂×D₄	—	2	1	no	—
211	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	4	4	no	—
229	Q₁₆	—	4	8	no	—
230	SD₁₆	—	4	4	no	—
231	SD₁₆	—	4	4	no	—
232	SD₁₆	—	4	8	no	—
233	D₈	—	4	4	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	2	2	no	—
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	2	8	no	—
286	Q₈	—	2	4	no	—
287	Q₈	—	4	8	no	—
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	8	2	no	—
291	D₄	—	2	4	no	—
292	D₄	—	2	2	no	—
293	D₄	—	2	4	no	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	#535	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	#535	1	2	yes	—
355	C₄	#577	1	2	yes	—
356	C₄	#578	1	2	yes	—
357	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3511	C₂	semidirect
2. #3499	C₂	semidirect
3. #3225	C₂	semidirect
4. #3210	C₂	semidirect
5. #3209	C₂	semidirect
6. #3207	C₂	semidirect
7. #3206	C₂	semidirect
8. #3152	C₂	semidirect
9. #3147	C₂	semidirect
10. #3141	C₂	semidirect
11. C₂×#487	C₂	semidirect
12. #3046	C₂	semidirect
13. #3013	C₂	semidirect
14. #2922	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3499	2
#3225	2
#3210	2
#3209	2
#3207	2
#3206	2
#3152	2
#3147	2
#3141	2
C₂×#487	2
#3046	2
#3013	2
#2922	2