Subgroups — #60826

Order 256.

1013 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3223	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3216	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3215	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3009	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#557	—	2	2	no	—
23	#556	—	2	2	no	—
24	#552	—	2	4	no	—
25	#548	—	2	2	no	—
26	#546	—	2	4	no	—
27	#546	—	2	2	no	—
28	#541	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#536	C₂²	1	2	yes	—
30	#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#536	C₂²	1	2	yes	—
32	#535	C₂²	1	2	yes	—
33	#535	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#533	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#532	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
41	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#462	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#452	C₂²	1	8	yes	—
60	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#451	C₂²	1	8	yes	complemented
62	#450	C₂²	1	8	yes	—
63	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#432	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#418	C₂²	1	2	yes	—
68	#416	C₂²	1	2	yes	—
69	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#408	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
74	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
75	C₂×#41	—	2	1	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	1	no	—
78	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	#137	—	4	4	no	—
92	#137	—	4	4	no	—
93	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#127	C₂³	1	2	yes	—
111	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#126	—	2	8	no	—
113	#125	—	2	8	no	—
114	#125	—	2	4	no	—
115	#125	C₂³	1	2	yes	—
116	#124	—	2	2	no	—
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	—	2	2	no	—
119	#124	C₂³	1	2	yes	—
120	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#124	C₂³	1	2	yes	—
122	#124	C₂³	1	2	yes	—
123	#124	C₂³	1	2	yes	—
124	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	—	2	2	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
133	#121	—	2	2	no	—
134	#121	—	2	4	no	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#120	—	2	2	no	—
138	#120	—	2	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
147	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	C₂³	1	2	yes	—
151	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	#117	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
159	#103	C₂³	1	4	yes	—
160	#103	C₂³	1	4	yes	—
161	#103	C₂³	1	8	yes	—
162	#102	C₂³	1	4	yes	—
163	#102	C₂³	1	4	yes	—
164	#102	C₂³	1	8	yes	—
165	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
166	#97	C₂³	1	2	yes	—
167	#97	C₂³	1	2	yes	—
168	#97	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	1	no	—
172	#41	—	2	4	no	—
173	#41	—	2	4	no	—
174	#41	—	2	4	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	4	no	—
177	#41	—	4	8	no	—
178	#41	—	4	4	no	—
179	#41	—	4	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	1	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	1	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	Q₁₆	—	4	8	no	—
223	Q₁₆	—	4	4	no	—
224	Q₁₆	—	4	4	no	—
225	SD₁₆	—	4	8	no	—
226	SD₁₆	—	4	4	no	—
227	SD₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	2	2	no	—
270	Q₈	—	2	4	no	—
271	Q₈	—	2	4	no	—
272	Q₈	—	2	4	no	—
273	Q₈	—	2	2	no	—
274	Q₈	—	2	2	no	—
275	Q₈	—	4	4	no	—
276	Q₈	—	4	4	no	—
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	2	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	2	2	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	2	no	—
288	D₄	—	4	2	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	—	16	4	no	—
327	C₂²	#535	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	1	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	4	1	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	#535	1	2	yes	—
339	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	4	2	no	—
342	C₂	—	8	1	no	—
343	C₂	—	8	2	no	—
344	C₂	—	8	1	no	—
345	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3500	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3509	C₂	semidirect
3. #3223	C₂	semidirect
4. #3222	C₂	semidirect
5. #3216	C₂	semidirect
6. #3215	C₂	semidirect
7. #3152	C₂	semidirect
8. C₂×#497	C₂	semidirect
9. #3140	C₂	semidirect
10. #3135	C₂	semidirect
11. #3044	C₂	semidirect
12. #3043	C₂	semidirect
13. #3011	C₂	semidirect
14. #3009	C₂	semidirect
15. #2923	C₂	semidirect
19. C₂×#137	C₂²	semidirect
20. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
28. #541	C₂²	semidirect
34. #533	C₂²	semidirect
35. #533	C₂²	semidirect
38. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
41. #519	C₂²	semidirect
43. #497	C₂²	semidirect
44. #497	C₂²	semidirect
45. #497	C₂²	semidirect
46. #497	C₂²	semidirect
47. #494	C₂²	semidirect
48. #492	C₂²	semidirect
49. #491	C₂²	semidirect
50. #490	C₂²	semidirect
51. #489	C₂²	semidirect
52. #489	C₂²	semidirect
53. #489	C₂²	semidirect
54. #488	C₂²	semidirect
55. #464	C₂²	semidirect
56. #464	C₂²	semidirect
57. #462	C₂²	semidirect
58. #460	C₂²	semidirect
60. #452	C₂²	semidirect
61. #451	C₂²	semidirect
63. #433	C₂²	semidirect
64. #432	C₂²	semidirect
65. #424	C₂²	semidirect
66. #419	C₂²	semidirect
69. #416	C₂²	semidirect
71. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
72. C₂×#97	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3509	2
#3500	2
#3223	2
#3222	2
#3216	2
#3215	2
#3152	2
C₂×#497	2
#3140	2
#3135	2
#3044	2
#3043	2
#3011	2
#3009	2
#2923	2