Subgroups — #60830

Order 256.

1075 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3512	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3220	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3219	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3217	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#490	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3045	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3012	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#553	—	2	4	no	—
18	#553	—	2	2	no	—
19	#552	—	2	2	no	—
20	#550	—	2	2	no	—
21	D₄²	—	2	4	no	—
22	D₄²	—	2	2	no	—
23	#541	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#540	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#537	C₂²	1	2	yes	—
26	#535	C₂²	1	4	yes	—
27	#535	C₂²	1	2	yes	—
28	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#532	C₂²	1	2	yes	—
30	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#520	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#432	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#408	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
65	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
66	C₂×#41	—	2	2	no	—
67	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
78	#135	—	4	8	no	—
79	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#127	—	2	4	no	—
90	#127	—	2	2	no	—
91	#127	C₂³	1	2	yes	—
92	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#127	C₂³	1	4	yes	—
94	#127	C₂³	1	2	yes	—
95	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#126	—	2	4	no	—
97	#126	—	2	4	no	—
98	#125	—	2	4	no	—
99	#125	—	2	2	no	—
100	#125	C₂³	1	2	yes	—
101	#125	C₂³	1	2	yes	—
102	#124	C₂³	1	2	yes	—
103	#124	C₂³	1	4	yes	—
104	#124	C₂³	1	2	yes	—
105	#123	—	2	4	no	—
106	#123	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
109	#121	—	2	2	no	—
110	#121	—	2	4	no	—
111	#121	—	2	2	no	—
112	#121	—	2	4	no	—
113	#121	—	2	2	no	—
114	#121	—	2	4	no	—
115	#121	—	2	8	no	—
116	#121	—	2	4	no	—
117	#121	C₂³	1	4	yes	—
118	#120	—	2	4	no	—
119	#120	—	2	8	no	—
120	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
121	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	—	2	2	no	—
127	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
128	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
129	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#117	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
140	#103	C₂³	1	8	yes	—
141	#102	C₂³	1	8	yes	—
142	#102	C₂³	1	8	yes	—
143	#102	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
145	#97	C₂³	1	2	yes	—
146	#97	C₂³	1	2	yes	—
147	#97	C₂³	1	2	yes	—
148	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	#41	—	2	4	no	—
152	#41	—	2	8	no	—
153	#41	—	2	8	no	—
154	#41	—	4	8	no	—
155	#41	—	4	8	no	—
156	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	8	no	—
172	C₂×D₄	—	4	16	no	—
173	C₂×D₄	—	4	8	no	—
174	C₂×D₄	—	8	8	no	—
175	C₂×D₄	—	8	4	no	—
176	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	Q₁₆	—	4	4	no	—
191	SD₁₆	—	4	4	no	—
192	SD₁₆	—	4	4	no	—
193	SD₁₆	—	4	8	no	—
194	D₈	—	4	4	no	—
195	D₈	—	4	8	no	—
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	4	8	no	—
229	C₂³	—	4	4	no	—
230	C₂³	—	8	4	no	—
231	C₂³	—	8	8	no	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	Q₈	—	2	2	no	—
235	Q₈	—	2	4	no	—
236	Q₈	—	2	4	no	—
237	D₄	—	2	4	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	—	2	4	no	—
240	D₄	—	2	8	no	—
241	D₄	—	2	4	no	—
242	D₄	—	4	8	no	—
243	D₄	—	4	8	no	—
244	D₄	—	4	4	no	—
245	D₄	—	4	8	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	—	4	4	no	—
248	D₄	—	4	4	no	—
249	D₄	—	8	2	no	—
250	D₄	—	8	8	no	—
251	D₄	—	8	4	no	—
252	D₄	—	8	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	C₈	—	2	4	no	—
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	16	4	no	—
284	C₂²	—	16	8	no	—
285	C₂²	#535	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	#535	1	2	yes	—
295	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₂	—	2	2	no	—
297	C₂	—	4	2	no	—
298	C₂	—	8	2	no	—
299	C₂	—	8	4	no	—
300	C₂	—	8	2	no	—
301	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3512	C₂	semidirect
2. #3498	C₂	semidirect
3. #3222	C₂	semidirect
4. #3220	C₂	semidirect
5. #3219	C₂	semidirect
6. #3217	C₂	semidirect
7. #3151	C₂	semidirect
8. #3150	C₂	semidirect
9. #3142	C₂	semidirect
10. C₂×#490	C₂	semidirect
11. #3045	C₂	semidirect
12. #3012	C₂	semidirect
13. #2923	C₂	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
16. C₂×#135	C₂²	semidirect
23. #541	C₂²	semidirect
24. #540	C₂²	semidirect
30. #532	C₂²	semidirect
33. #529	C₂²	semidirect
34. C₂×#125	C₂²	semidirect
35. #520	C₂²	semidirect
37. #497	C₂²	semidirect
38. #497	C₂²	semidirect
39. #496	C₂²	semidirect
40. #496	C₂²	semidirect
41. #496	C₂²	semidirect
42. #493	C₂²	semidirect
43. #492	C₂²	semidirect
44. #491	C₂²	semidirect
45. #490	C₂²	semidirect
46. #490	C₂²	semidirect
47. #490	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #464	C₂²	semidirect
50. #463	C₂²	semidirect
51. #460	C₂²	semidirect
52. #459	C₂²	semidirect
53. #452	C₂²	semidirect
54. #450	C₂²	semidirect
55. #449	C₂²	semidirect
56. #447	C₂²	semidirect
57. #433	C₂²	semidirect
58. #432	C₂²	semidirect
59. #424	C₂²	semidirect
60. #417	C₂²	semidirect
61. C₂×#102	C₂²	semidirect
63. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
64. C₂×#97	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3512	2
#3498	2
#3222	2
#3220	2
#3219	2
#3217	2
#3151	2
#3150	2
#3142	2
C₂×#490	2
#3045	2
#3012	2
#2923	2