Subgroups — #60846

Order 256.

900 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3233	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3232	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3228	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3131	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3076	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#533	—	2	1	no	—
17	#533	—	2	1	no	—
18	#533	—	2	1	no	—
19	#533	—	2	1	no	—
20	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#533	C₂²	1	2	yes	—
23	#533	C₂²	1	2	yes	—
24	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#533	C₂²	1	2	yes	—
26	#533	C₂²	1	2	yes	—
27	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#529	—	2	1	no	—
33	#529	—	2	1	no	—
34	#529	—	2	1	no	—
35	#529	—	2	1	no	—
36	#529	C₂²	1	2	yes	—
37	#529	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
39	#525	—	2	1	no	—
40	#525	—	2	1	no	—
41	#525	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₄×#41	—	2	1	no	—
45	C₄×#41	—	2	1	no	—
46	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#499	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#488	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#485	C₂²	1	8	yes	—
62	#484	C₂²	1	4	yes	—
63	#483	C₂²	1	4	yes	—
64	#482	C₂²	1	8	yes	—
65	#481	C₂²	1	4	yes	—
66	#480	C₂²	1	4	yes	—
67	#479	C₂²	1	8	yes	complemented
68	#478	C₂²	1	8	yes	complemented
69	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#474	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#431	C₂²	1	2	yes	—
76	#431	C₂²	1	2	yes	—
77	#431	C₂²	1	2	yes	—
78	#427	C₂²	1	8	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
80	#416	C₂²	1	8	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
83	C₂×#41	—	2	1	no	—
84	C₂×#41	—	2	1	no	—
85	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
96	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#126	—	2	2	no	—
105	#126	—	2	2	no	—
106	#125	—	2	2	no	—
107	#125	—	2	2	no	—
108	#125	—	2	1	no	—
109	#125	—	2	1	no	—
110	#125	C₂³	1	4	yes	—
111	#125	C₂³	1	4	yes	—
112	#125	C₂³	1	2	yes	—
113	#124	—	2	1	no	—
114	#124	—	2	1	no	—
115	#124	C₂³	1	2	yes	—
116	#123	—	2	2	no	—
117	#123	—	2	2	no	—
118	#123	—	2	2	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
133	#121	—	2	1	no	—
134	#121	—	2	1	no	—
135	#121	—	2	1	no	—
136	#121	—	2	1	no	—
137	#121	C₂³	1	2	yes	—
138	#121	C₂³	1	2	yes	—
139	#120	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	1	no	—
169	#117	—	2	1	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	C₂³	1	4	yes	—
174	#117	C₂³	1	4	yes	—
175	#117	C₂³	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	#107	C₂³	1	8	yes	—
198	#107	C₂³	1	8	yes	—
199	#106	C₂³	1	8	yes	—
200	#106	C₂³	1	8	yes	—
201	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
204	#103	C₂³	1	8	yes	—
205	#103	C₂³	1	8	yes	—
206	#102	C₂³	1	8	yes	—
207	#102	C₂³	1	8	yes	—
208	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
209	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
210	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
211	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	2	4	no	—
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	4	4	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	2	no	—
330	Q₈	—	4	4	no	—
331	Q₈	—	4	2	no	—
332	D₄	—	2	4	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	2	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	#135	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
378	C₈	—	2	4	no	—
379	C₈	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	#536	1	2	yes	—
392	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
393	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	#536	1	2	yes	—
407	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
408	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
409	C₄	#575	1	2	yes	—
410	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	4	1	no	—
414	C₂	—	8	2	no	—
415	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
prime radical	#3444	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #3233	C₂	semidirect
4. #3232	C₂	semidirect
5. #3231	C₂	semidirect
6. #3230	C₂	semidirect
7. #3229	C₂	semidirect
8. #3228	C₂	semidirect
9. #3227	C₂	semidirect
10. #3226	C₂	semidirect
11. #3160	C₂	semidirect
12. #3131	C₂	semidirect
13. #3091	C₂	semidirect
14. #3076	C₂	semidirect
15. C₂×#431	C₂	semidirect
51. #500	C₂²	semidirect
52. #500	C₂²	semidirect
53. #499	C₂²	semidirect
54. #498	C₂²	semidirect
55. #498	C₂²	semidirect
56. #488	C₂²	semidirect
57. #487	C₂²	semidirect
58. #487	C₂²	semidirect
59. #486	C₂²	semidirect
60. #486	C₂²	semidirect
67. #479	C₂²	semidirect
68. #478	C₂²	semidirect
69. #477	C₂²	semidirect
70. #476	C₂²	semidirect
71. #475	C₂²	semidirect
72. #474	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3444	2
C₂×#533	2
#3233	2
#3232	2
#3231	2
#3230	2
#3229	2
#3228	2
#3227	2
#3226	2
#3160	2
#3131	2
#3091	2
#3076	2
C₂×#431	2