Subgroups — #608707

Order 512.

3070 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#15200	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#15156	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15026	C₂	1	4	yes	maximal
6	#14843	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₄×#400	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#13756	C₂	1	2	yes	maximal
9	#13756	C₂	1	2	yes	maximal
10	#13756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#400	C₂²	1	8	yes	—
18	#2296	—	2	8	no	—
19	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#385	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#385	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	#1445	C₂²	1	8	yes	—
29	#1443	C₂²	1	16	yes	—
30	#1442	C₂²	1	16	yes	—
31	#1442	C₂²	1	8	yes	—
32	#1441	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
39	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
40	C₂²⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄×#95	C₂²	1	8	yes	—
43	C₄×#95	C₂²	1	8	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	—	2	8	no	—
52	C₂×#117	—	2	8	no	—
53	C₂×#117	—	2	8	no	—
54	C₂×#117	—	2	8	no	—
55	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	#400	—	2	32	no	—
82	#389	—	2	8	no	—
83	#389	—	2	8	no	—
84	#385	—	2	8	no	—
85	#385	—	2	8	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₂×#95	—	2	8	no	—
90	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
115	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#117	—	2	32	no	—
126	#117	—	4	16	no	—
127	#117	—	4	32	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	16	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
176	#95	—	2	16	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	—	2	32	no	—
180	#95	—	2	16	no	—
181	#95	—	2	32	no	—
182	#95	—	4	16	no	—
183	#95	—	4	8	no	—
184	#95	—	4	16	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
231	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
232	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
233	C₂²×C₄	#125	1	32	yes	—
234	C₂²×C₄	#126	1	32	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	16	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₄²	—	2	16	no	—
262	C₄²	—	2	16	no	—
263	C₄²	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	4	16	no	—
266	C₄²	—	4	16	no	—
267	C₄²	—	4	16	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	16	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂×#125	1	8	yes	—
279	C₂³	C₂×#126	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	#585	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	—	2	32	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	64	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	#400	1	64	yes	complemented
321	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
332	C₂²	—	2	16	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	2	16	no	—
338	C₂²	C₂×#400	1	8	yes	—
339	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#525	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×#125	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂²×#126	1	2	yes	—
345	C₂²	#3444	1	4	yes	—
346	C₂²	#3449	1	2	yes	—
347	C₂²	#3455	1	4	yes	—
348	C₂²	#3475	1	8	yes	—
349	C₂²	Q₈×#41	1	4	yes	—
350	C₂²	#3480	1	4	yes	—
351	C₄	—	2	8	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	16	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	—	8	8	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₄	C₂×#400	1	8	yes	—
359	C₄	C₂×#400	1	8	yes	—
360	C₂	—	2	8	no	—
361	C₂	C₂²×#400	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#34635	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#34815	1	4	yes	—
364	C₂	#34816	1	4	yes	—
365	C₂	#34946	1	2	yes	—
366	C₂	#34952	1	2	yes	—
367	C₂	#36626	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #15200	C₂	semidirect
4. #15156	C₂	semidirect
7. C₄×#400	C₂	semidirect
320. C₂×C₄	#400	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2296	2
C₂²×C₄×C₄⋊C₄	2
#15200	2
#15156	2
#15026	2
#14843	2
C₄×#400	2
#13756	2