Subgroups — #608714

Order 512.

5134 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 244 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2296	C₂	1	3	yes	maximal
3	#15202	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#15158	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15092	C₂	1	6	yes	maximal
6	#14874	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#395	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#13756	C₂	1	3	yes	maximal
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#395	C₂²	1	8	yes	—
18	#2296	—	2	24	no	—
19	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#385	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#385	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
24	#1446	C₂²	1	8	yes	—
25	#1444	C₂²	1	24	yes	—
26	#1441	C₂²	1	24	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
28	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
30	C₄×#95	C₂²	1	12	yes	—
31	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	12	no	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	128	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
40	C₂×#117	—	2	12	no	—
41	C₂×#117	—	2	12	no	—
42	C₂×#117	—	2	12	no	—
43	C₂×#117	Q₈	1	24	yes	complemented
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	24	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
60	#395	—	2	32	no	—
61	#389	—	2	24	no	—
62	#389	—	2	24	no	—
63	#385	—	2	24	no	—
64	#385	—	2	24	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
66	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	192	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
75	C₂²×Q₈	#41	1	16	yes	—
76	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
84	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
93	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
94	#117	—	2	96	no	—
95	#117	—	4	16	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
112	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	24	yes	complemented
121	#95	—	2	24	no	—
122	#95	—	2	24	no	—
123	#95	—	2	48	no	—
124	#95	—	4	24	no	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
128	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
129	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
130	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
131	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	256	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
154	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	48	yes	—
156	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	48	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₄²	—	2	48	no	—
176	C₄²	—	2	48	no	—
177	C₄²	—	2	48	no	—
178	C₄²	—	4	8	no	—
179	C₂³	—	2	12	no	—
180	C₂³	—	2	12	no	—
181	C₂³	—	2	24	no	—
182	C₂³	—	2	8	no	—
183	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
184	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
185	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
186	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
187	C₂³	C₂³×Q₈	1	3	yes	—
188	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
190	C₂³	#585	1	4	yes	—
191	Q₈	—	2	128	no	—
192	C₂×C₄	—	2	96	no	—
193	C₂×C₄	—	2	12	no	—
194	C₂×C₄	—	2	12	no	—
195	C₂×C₄	—	2	48	no	—
196	C₂×C₄	—	2	12	no	—
197	C₂×C₄	—	2	24	no	—
198	C₂×C₄	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄	—	2	12	no	—
200	C₂×C₄	—	2	48	no	—
201	C₂×C₄	—	4	48	no	—
202	C₂×C₄	—	4	12	no	—
203	C₂×C₄	—	4	12	no	—
204	C₂×C₄	—	4	24	no	—
205	C₂×C₄	—	4	24	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	12	no	—
209	C₂×C₄	—	4	12	no	—
210	C₂×C₄	#395	1	64	yes	complemented
211	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
214	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
215	C₂×C₄	#525	1	24	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
218	C₂²	—	2	4	no	—
219	C₂²	—	2	4	no	—
220	C₂²	—	2	24	no	—
221	C₂²	—	2	24	no	—
222	C₂²	C₂×#395	1	8	yes	—
223	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	3	yes	—
225	C₂²	C₂×#525	1	6	yes	—
226	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	3	yes	—
227	C₂²	#3449	1	6	yes	—
228	C₂²	Q₈×#41	1	12	yes	—
229	C₂²	#3480	1	4	yes	—
230	C₄	—	2	24	no	—
231	C₄	—	4	12	no	—
232	C₄	—	4	24	no	—
233	C₄	—	8	2	no	—
234	C₄	—	8	2	no	—
235	C₄	C₂×#395	1	8	yes	—
236	C₄	C₂×#395	1	8	yes	—
237	C₂	—	2	8	no	—
238	C₂	C₂²×#395	1	1	yes	characteristic
239	C₂	#34632	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#34952	1	6	yes	—
241	C₂	#34953	1	6	yes	—
242	C₂	#36614	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #15202	C₂	semidirect
4. #15158	C₂	semidirect
7. C₄×#395	C₂	semidirect
43. C₂×#117	Q₈	semidirect
107. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
120. C₂×C₄²	C₂×Q₈	semidirect
210. C₂×C₄	#395	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂×#2296	2
#15202	2
#15158	2
#15092	2
#14874	2
C₄×#395	2
#13756	2