Subgroups — #608781

Order 512.

3630 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 255 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂×C₄×#124	C₂	1	3	yes	maximal
3	#15243	C₂	1	3	yes	maximal
4	#15240	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#15190	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#15155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#14910	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#399	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄×#376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂²×#124	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#399	C₂²	1	8	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
16	C₄×#124	—	2	24	no	—
17	C₂×#391	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#391	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂×#388	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#384	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
26	C₂×#376	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
28	#1445	C₂²	1	24	yes	—
29	#1444	C₂²	1	8	yes	—
30	#1439	C₂²	1	24	yes	—
31	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#95	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
39	C₂×#124	—	2	12	no	—
40	C₂×#124	—	2	12	no	—
41	C₂×#124	—	2	12	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#399	—	2	32	no	—
60	#391	—	2	24	no	—
61	#391	—	2	12	no	—
62	#390	—	2	12	no	—
63	#389	—	2	48	no	—
64	#388	—	2	48	no	—
65	#384	—	2	12	no	—
66	#382	—	2	12	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
69	#376	—	2	16	no	—
70	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
72	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
74	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
75	C₄³	D₄	1	24	yes	—
76	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
78	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
79	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
81	C₂²×Q₈	#41	1	12	yes	—
82	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
84	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊Q₈	—	2	96	no	—
96	#124	—	2	96	no	—
97	C₄×Q₈	—	4	48	no	—
98	C₄×D₄	—	4	16	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
126	#95	—	2	24	no	—
127	#95	—	2	24	no	—
128	#95	—	2	48	no	—
129	#95	—	2	24	no	—
130	#95	#41	1	16	yes	—
131	C₂⁴	—	2	6	no	—
132	C₂⁴	—	2	8	no	—
133	C₂⁴	—	2	6	no	—
134	C₂⁴	—	2	8	no	—
135	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
136	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
139	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
142	C₂×D₄	—	2	24	no	—
143	C₂×D₄	—	4	12	no	—
144	C₂×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
163	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
173	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
181	C₄²	—	2	24	no	—
182	C₄²	—	2	24	no	—
183	C₄²	—	2	48	no	—
184	C₄²	—	2	48	no	—
185	C₄²	—	4	24	no	—
186	C₄²	#127	1	16	yes	—
187	C₂³	—	2	12	no	—
188	C₂³	—	2	16	no	—
189	C₂³	—	4	6	no	—
190	C₂³	—	4	2	no	—
191	C₂³	—	4	12	no	—
192	C₂³	—	4	12	no	—
193	C₂³	—	4	24	no	—
194	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
195	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
197	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
198	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
199	Q₈	—	4	48	no	—
200	D₄	—	4	16	no	—
201	C₂×C₄	—	2	12	no	—
202	C₂×C₄	—	2	12	no	—
203	C₂×C₄	—	2	12	no	—
204	C₂×C₄	—	2	48	no	—
205	C₂×C₄	—	2	12	no	—
206	C₂×C₄	—	2	12	no	—
207	C₂×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄	—	4	6	no	—
211	C₂×C₄	—	4	12	no	—
212	C₂×C₄	—	4	6	no	—
213	C₂×C₄	—	4	12	no	—
214	C₂×C₄	—	4	12	no	—
215	C₂×C₄	—	4	6	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	12	no	—
218	C₂×C₄	—	4	24	no	—
219	C₂×C₄	—	4	12	no	—
220	C₂×C₄	—	8	16	no	—
221	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
222	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
223	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	#532	1	24	yes	—
227	C₂×C₄	#536	1	24	yes	—
228	C₂²	—	4	24	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	8	2	no	—
231	C₂²	—	8	2	no	—
232	C₂²	—	8	12	no	—
233	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
234	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
235	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂×#532	1	6	yes	—
237	C₂²	C₂×#536	1	6	yes	—
238	C₂²	#3482	1	12	yes	—
239	C₂²	#3482	1	4	yes	—
240	C₄	—	2	4	no	—
241	C₄	—	2	24	no	—
242	C₄	—	4	12	no	—
243	C₄	—	4	12	no	—
244	C₄	—	8	6	no	—
245	C₄	—	8	2	no	—
246	C₄	#2397	1	8	yes	—
247	C₄	#2658	1	8	yes	—
248	C₂	—	8	4	no	—
249	C₂	C₂×#2397	1	1	yes	characteristic
250	C₂	C₂×#2658	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#34972	1	6	yes	—
252	C₂	#34979	1	6	yes	—
253	C₂	#36644	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
4. #15240	C₂	semidirect
5. #15190	C₂	semidirect
7. #14910	C₂	semidirect
8. C₄×#399	C₂	semidirect
9. C₄×#376	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
C₂×C₄×#124	2
#15243	2
#15240	2
#15190	2
#15155	2
#14910	2
C₄×#399	2
C₄×#376	2