Subgroups — #61049

Order 256.

1537 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3484	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3280	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×D₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3264	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#3155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3008	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3003	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#576	—	2	8	no	—
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
24	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#546	—	2	4	no	—
33	#546	C₂²	1	8	yes	complemented
34	D₄²	—	2	4	no	—
35	D₄²	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#535	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#535	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#534	—	2	4	no	—
39	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#525	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#120	—	2	4	no	—
42	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
60	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
69	C₂⁵	—	2	2	no	—
70	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
71	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	2	no	—
73	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	complemented
76	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
89	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
90	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
91	#135	—	2	8	no	—
92	#135	—	2	4	no	—
93	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
94	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
95	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
96	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
97	C₂×D₈	—	2	8	no	—
98	C₂×D₈	—	2	16	no	—
99	C₂×D₈	—	2	16	no	—
100	C₂×D₈	—	2	8	no	—
101	C₂×D₈	—	2	4	no	—
102	C₂×D₈	D₄	1	8	yes	complemented
103	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
109	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	complemented
110	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	complemented
111	#131	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	C₂³	1	4	yes	complemented
123	#124	—	2	2	no	—
124	#124	C₂³	1	4	yes	complemented
125	#123	—	2	2	no	—
126	#123	—	2	8	no	—
127	#123	D₄	1	2	yes	—
128	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
129	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
130	#121	—	2	8	no	—
131	#121	—	2	4	no	—
132	#121	—	2	8	no	—
133	#121	D₄	1	2	yes	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	C₂³	1	8	yes	complemented
136	#120	—	2	2	no	—
137	#120	—	2	4	no	—
138	#120	—	2	8	no	—
139	#120	—	2	4	no	—
140	#120	—	2	8	no	—
141	#120	—	2	8	no	—
142	#120	D₄	1	2	yes	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
147	#117	C₂³	1	2	yes	—
148	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	#107	C₂³	1	2	yes	complemented
152	#106	C₂³	1	2	yes	complemented
153	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
154	#103	C₂³	1	4	yes	complemented
155	#102	C₂³	1	4	yes	complemented
156	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
157	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
158	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
159	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
160	#97	C₂³	1	2	yes	complemented
161	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	8	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	8	no	—
167	C₂⁴	—	8	8	no	—
168	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	#41	—	2	2	no	—
170	#41	—	2	2	no	—
171	#41	—	2	8	no	—
172	#41	—	2	4	no	—
173	#41	—	2	4	no	—
174	#41	—	4	4	no	—
175	#41	—	4	8	no	—
176	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	8	16	no	—
199	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
203	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	2	2	no	—
217	SD₁₆	—	2	8	no	—
218	SD₁₆	—	2	4	no	—
219	SD₁₆	—	4	4	no	—
220	D₈	—	2	16	no	—
221	D₈	—	2	8	no	—
222	D₈	—	2	4	no	—
223	D₈	—	2	4	no	—
224	D₈	—	2	2	no	—
225	D₈	—	4	4	no	—
226	D₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
227	D₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
228	M₁₆	—	2	2	no	—
229	M₁₆	—	2	2	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
236	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	4	16	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	8	no	—
268	C₂³	—	8	4	no	—
269	C₂³	—	8	8	no	—
270	C₂³	—	8	32	no	—
271	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	Q₈	—	2	2	no	—
275	Q₈	—	2	2	no	—
276	Q₈	—	2	2	no	—
277	D₄	—	2	4	no	—
278	D₄	—	2	8	no	—
279	D₄	—	2	8	no	—
280	D₄	—	2	2	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	2	no	—
285	D₄	—	2	4	no	—
286	D₄	—	4	16	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	D₄	—	8	8	no	—
294	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	—	8	32	no	—
332	C₂²	—	8	8	no	—
333	C₂²	—	16	8	no	—
334	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
335	C₂²	#576	1	4	yes	complemented
336	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	D₄²	1	2	yes	—
343	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	—	4	2	no	—
348	C₂	—	4	8	no	—
349	C₂	—	8	4	no	—
350	C₂	—	8	2	no	—
351	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#576	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #525 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#576	C₂	semidirect
2. C₂³×D₈	C₂	semidirect
3. #3484	C₂	semidirect
4. #3280	C₂	semidirect
5. D₄×D₈	C₂	semidirect
6. #3264	C₂	semidirect
7. #3155	C₂	semidirect
8. #3058	C₂	semidirect
9. #3050	C₂	semidirect
10. #3041	C₂	semidirect
11. #3008	C₂	semidirect
12. #3003	C₂	semidirect
13. #2948	C₂	semidirect
14. #2929	C₂	semidirect
15. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
18. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
19. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
20. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
21. C₂×#135	C₂²	semidirect
22. C₂×#135	C₂²	semidirect
25. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
26. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
27. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
28. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
29. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
30. C₂×#131	C₂²	semidirect
31. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
33. #546	C₂²	semidirect
35. D₄²	C₂²	semidirect
36. #535	C₂²	semidirect
37. #535	C₂²	semidirect
40. #525	C₂²	semidirect
42. #518	C₂²	semidirect
43. #496	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #493	C₂²	semidirect
46. #469	C₂²	semidirect
47. #467	C₂²	semidirect
48. #466	C₂²	semidirect
49. #466	C₂²	semidirect
50. #465	C₂²	semidirect
51. #463	C₂²	semidirect
52. #459	C₂²	semidirect
53. #450	C₂²	semidirect
54. #449	C₂²	semidirect
55. #447	C₂²	semidirect
56. #447	C₂²	semidirect
57. #442	C₂²	semidirect
58. C₄×D₈	C₂²	semidirect
59. #435	C₂²	semidirect
60. C₈×D₄	C₂²	semidirect
61. #427	C₂²	semidirect
62. #424	C₂²	semidirect
63. #418	C₂²	semidirect
64. #418	C₂²	semidirect
65. #416	C₂²	semidirect
66. #408	C₂²	semidirect
67. #407	C₂²	semidirect
68. #405	C₂²	semidirect
75. C₂×#41	C₂³	semidirect
86. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
93. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
94. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
95. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
96. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
102. C₂×D₈	D₄	semidirect
108. C₂×D₈	C₂³	semidirect
109. C₂×D₈	C₂³	semidirect
110. C₂×D₈	C₂³	semidirect
114. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
120. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
122. #127	C₂³	semidirect
124. #124	C₂³	semidirect
135. #121	C₂³	semidirect
146. C₄×D₄	C₂³	semidirect
151. #107	C₂³	semidirect
152. #106	C₂³	semidirect
153. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
154. #103	C₂³	semidirect
155. #102	C₂³	semidirect
156. #102	C₂³	semidirect
157. #102	C₂³	semidirect
159. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
160. #97	C₂³	semidirect
161. C₄×C₈	C₂³	semidirect
202. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
226. D₈	C₂×D₄	semidirect
227. D₈	C₂×D₄	semidirect
235. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
335. C₂²	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#576	2
C₂³×D₈	2
#3484	2
#3280	2
D₄×D₈	2
#3264	2
#3155	2
#3058	2
#3050	2
#3041	2
#3008	2
#3003	2
#2948	2
#2929	2