Subgroups — #61081

Order 256.

1329 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 261 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#578	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3497	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3271	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3270	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#3060	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3013	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂×#441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	4	yes	—
12	#578	—	2	16	no	—
13	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#137	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
21	#550	—	2	2	no	—
22	#550	C₂²	1	4	yes	—
23	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
24	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
25	#548	—	2	4	no	—
26	#548	C₂²	1	8	yes	—
27	#537	—	2	4	no	—
28	#537	C₂²	1	4	yes	—
29	#532	—	2	4	no	—
30	#532	C₂²	1	2	yes	—
31	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	#497	C₂²	1	4	yes	—
34	#496	C₂²	1	4	yes	—
35	#470	C₂²	1	4	yes	—
36	#469	C₂²	1	4	yes	—
37	#465	C₂²	1	8	yes	—
38	#464	C₂²	1	8	yes	—
39	#462	C₂²	1	4	yes	—
40	#460	C₂²	1	4	yes	—
41	#452	C₂²	1	8	yes	—
42	#451	C₂²	1	8	yes	—
43	#449	C₂²	1	8	yes	—
44	#448	C₂²	1	8	yes	—
45	#441	C₂²	1	8	yes	—
46	#435	C₂²	1	8	yes	—
47	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#417	C₂²	1	4	yes	—
50	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
51	#408	C₂²	1	2	yes	—
52	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
54	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
55	C₂×#41	—	2	8	no	—
56	C₂×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#137	—	2	16	no	—
64	#137	—	2	32	no	—
65	#135	—	2	16	no	—
66	#135	—	2	8	no	—
67	#135	—	4	4	no	—
68	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
69	C₂×Q₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#131	—	2	8	no	—
80	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
86	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	#127	—	2	4	no	—
89	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#127	C₂³	1	2	yes	—
91	#124	—	2	8	no	—
92	#124	D₄	1	2	yes	—
93	#124	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
98	#121	—	2	8	no	—
99	#121	—	2	8	no	—
100	#121	—	2	4	no	—
101	#121	—	2	2	no	—
102	#121	—	2	2	no	—
103	#121	—	2	8	no	—
104	#121	D₄	1	4	yes	—
105	#121	C₂³	1	8	yes	—
106	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	2	no	—
114	C₄×D₄	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#106	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
122	#103	C₂³	1	8	yes	—
123	#103	C₂³	1	8	yes	—
124	#102	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
126	#97	C₂³	1	4	yes	—
127	#41	—	2	4	no	—
128	#41	—	2	4	no	—
129	#41	—	2	16	no	—
130	#41	—	2	8	no	—
131	#41	—	2	8	no	—
132	#41	—	4	8	no	—
133	#41	—	4	32	no	—
134	#41	—	4	16	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
139	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
141	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	Q₁₆	—	2	16	no	—
163	Q₁₆	—	2	4	no	—
164	Q₁₆	—	4	2	no	—
165	Q₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	SD₁₆	—	2	16	no	—
167	SD₁₆	—	2	8	no	—
168	SD₁₆	—	4	4	no	—
169	D₈	—	2	4	no	—
170	D₈	—	4	2	no	—
171	M₁₆	—	2	4	no	—
172	M₁₆	—	2	8	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	8	no	—
175	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
192	C₄²	—	2	4	no	—
193	C₄²	—	2	4	no	—
194	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	Q₈	—	2	8	no	—
201	Q₈	—	2	4	no	—
202	Q₈	—	2	4	no	—
203	Q₈	—	2	4	no	—
204	Q₈	—	2	4	no	—
205	Q₈	—	4	16	no	—
206	Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
207	D₄	—	2	8	no	—
208	D₄	—	2	4	no	—
209	D₄	—	2	4	no	—
210	D₄	—	2	4	no	—
211	D₄	—	4	4	no	—
212	D₄	—	4	16	no	—
213	D₄	—	4	4	no	—
214	D₄	—	4	8	no	—
215	D₄	—	8	2	no	—
216	D₄	—	8	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	C₈	—	2	4	no	—
236	C₈	—	2	2	no	—
237	C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²	—	2	2	no	—
239	C₂²	—	2	8	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	4	4	no	—
242	C₂²	—	4	4	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
245	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄	—	2	2	no	—
247	C₄	—	2	2	no	—
248	C₄	—	2	8	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	4	4	no	—
251	C₄	—	4	4	no	—
252	C₄	D₄²	1	2	yes	—
253	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
255	C₂	—	2	2	no	—
256	C₂	—	4	4	no	—
257	C₂	—	8	4	no	—
258	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#578	C₂	semidirect
2. #3497	C₂	semidirect
3. #3271	C₂	semidirect
4. #3270	C₂	semidirect
5. #3150	C₂	semidirect
6. #3060	C₂	semidirect
7. #3037	C₂	semidirect
8. #3013	C₂	semidirect
9. C₂×#441	C₂	semidirect
10. #2932	C₂	semidirect
69. C₂×Q₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#578	2
#3497	2
#3271	2
#3270	2
#3150	2
#3060	2
#3037	2
#3013	2
C₂×#441	2
#2932	2