Subgroups — #61084

Order 256.

1417 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#576	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3280	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3272	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3036	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3012	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	complemented
15	#576	—	2	16	no	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#547	—	2	2	no	—
25	#547	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#546	—	2	4	no	—
27	#546	C₂²	1	8	yes	complemented
28	D₄²	—	2	2	no	—
29	D₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#537	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#534	—	2	4	no	—
32	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#121	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#467	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
51	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
52	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
57	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
58	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
59	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
60	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
65	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
66	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
67	C₂×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
78	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
79	#135	—	2	16	no	—
80	#135	—	2	8	no	—
81	#135	—	4	4	no	—
82	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×D₈	—	2	16	no	—
88	C₂×D₈	D₄	1	8	yes	complemented
89	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#131	—	2	8	no	—
95	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#127	C₂³	1	2	yes	—
104	#124	D₄	1	2	yes	—
105	#124	C₂³	1	4	yes	—
106	#123	—	2	8	no	—
107	#123	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
110	#121	—	2	8	no	—
111	#121	—	2	4	no	—
112	#121	—	2	4	no	—
113	#121	—	2	2	no	—
114	#121	—	2	2	no	—
115	#121	—	2	4	no	—
116	#121	—	2	8	no	—
117	#121	D₄	1	2	yes	—
118	#121	D₄	1	2	yes	—
119	#121	C₂³	1	8	yes	—
120	#120	—	2	8	no	—
121	#120	—	2	8	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	2	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	#107	C₂³	1	2	yes	—
136	#107	C₂³	1	2	yes	—
137	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
139	#103	C₂³	1	8	yes	—
140	#102	C₂³	1	4	yes	—
141	#102	C₂³	1	4	yes	—
142	#102	C₂³	1	8	yes	—
143	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	8	no	—
151	#41	—	2	4	no	—
152	#41	—	2	4	no	—
153	#41	—	2	16	no	—
154	#41	—	2	8	no	—
155	#41	—	2	8	no	—
156	#41	—	4	8	no	—
157	#41	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂×D₄	—	2	16	no	—
161	C₂×D₄	—	2	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	16	no	—
171	C₂×D₄	—	4	32	no	—
172	C₂×D₄	—	8	8	no	—
173	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
178	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	Q₁₆	—	2	4	no	—
191	Q₁₆	—	4	2	no	—
192	SD₁₆	—	2	16	no	—
193	SD₁₆	—	2	8	no	—
194	SD₁₆	—	4	4	no	—
195	D₈	—	2	16	no	—
196	D₈	—	2	4	no	—
197	D₈	—	4	2	no	—
198	D₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
199	D₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
200	M₁₆	—	2	4	no	—
201	M₁₆	—	2	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
205	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	4	16	no	—
233	C₂³	—	8	2	no	—
234	C₂³	—	8	2	no	—
235	C₂³	—	8	8	no	—
236	C₂³	—	8	8	no	—
237	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	Q₈	—	2	4	no	—
240	Q₈	—	2	4	no	—
241	Q₈	—	2	4	no	—
242	D₄	—	2	8	no	—
243	D₄	—	2	8	no	—
244	D₄	—	2	4	no	—
245	D₄	—	2	4	no	—
246	D₄	—	2	4	no	—
247	D₄	—	2	4	no	—
248	D₄	—	2	4	no	—
249	D₄	—	4	2	no	—
250	D₄	—	4	16	no	—
251	D₄	—	4	16	no	—
252	D₄	—	4	8	no	—
253	D₄	—	4	4	no	—
254	D₄	—	8	2	no	—
255	D₄	—	8	8	no	—
256	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	16	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	C₈	—	2	4	no	—
278	C₈	—	2	1	no	—
279	C₈	—	2	1	no	—
280	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	2	1	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	8	8	no	—
294	C₂²	—	16	16	no	—
295	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄	—	2	1	no	—
298	C₄	—	2	1	no	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	D₄²	1	2	yes	—
304	C₄	#576	1	2	yes	complemented
305	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
307	C₂	—	2	2	no	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	4	8	no	—
310	C₂	—	8	4	no	—
311	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
312	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#576	C₂	semidirect
2. #3496	C₂	semidirect
3. #3283	C₂	semidirect
4. #3280	C₂	semidirect
5. D₄×D₈	C₂	semidirect
6. #3273	C₂	semidirect
7. #3272	C₂	semidirect
8. #3147	C₂	semidirect
9. #3061	C₂	semidirect
10. #3036	C₂	semidirect
11. #3012	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
13. #2931	C₂	semidirect
14. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
17. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
18. C₂×#135	C₂²	semidirect
19. C₂×#135	C₂²	semidirect
20. C₂×#135	C₂²	semidirect
22. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#131	C₂²	semidirect
25. #547	C₂²	semidirect
27. #546	C₂²	semidirect
29. D₄²	C₂²	semidirect
30. #537	C₂²	semidirect
33. #532	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. #495	C₂²	semidirect
37. #495	C₂²	semidirect
38. #494	C₂²	semidirect
39. #493	C₂²	semidirect
40. #492	C₂²	semidirect
41. #468	C₂²	semidirect
42. #467	C₂²	semidirect
43. #466	C₂²	semidirect
44. #463	C₂²	semidirect
45. #461	C₂²	semidirect
46. #459	C₂²	semidirect
47. #452	C₂²	semidirect
48. #450	C₂²	semidirect
49. #449	C₂²	semidirect
50. #447	C₂²	semidirect
51. C₄×D₈	C₂²	semidirect
52. C₄×D₈	C₂²	semidirect
53. C₄×D₈	C₂²	semidirect
54. C₄×D₈	C₂²	semidirect
55. #436	C₂²	semidirect
56. #436	C₂²	semidirect
57. C₈×D₄	C₂²	semidirect
58. C₈×D₄	C₂²	semidirect
59. C₂×#107	C₂²	semidirect
60. #423	C₂²	semidirect
61. #417	C₂²	semidirect
62. C₂×#102	C₂²	semidirect
63. #408	C₂²	semidirect
64. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
88. C₂×D₈	D₄	semidirect
177. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
198. D₈	C₂×D₄	semidirect
199. D₈	C₂×D₄	semidirect
204. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
304. C₄	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#576	2
#3496	2
#3283	2
#3280	2
D₄×D₈	2
#3273	2
#3272	2
#3147	2
#3061	2
#3036	2
#3012	2
C₂×C₄×D₈	2
#2931	2