Subgroups — #61087

Order 256.

1393 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#577	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3284	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×SD₁₆	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3278	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3272	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3038	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3010	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3009	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
18	#577	—	2	16	no	—
19	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#550	C₂²	1	4	yes	—
30	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#547	—	2	4	no	—
32	#547	C₂²	1	4	yes	complemented
33	D₄²	—	2	4	no	—
34	D₄²	C₂²	1	4	yes	—
35	#536	—	2	2	no	—
36	#536	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#535	—	2	2	no	—
38	#535	C₂²	1	2	yes	—
39	#532	—	2	1	no	—
40	#532	—	2	1	no	—
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#492	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#492	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#448	C₂²	1	8	yes	complemented
60	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#436	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
75	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
76	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
77	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
78	C₂×#41	—	2	2	no	—
79	C₂×#41	—	2	2	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	#137	—	2	8	no	—
96	#137	—	2	16	no	—
97	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
98	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
99	#135	—	2	16	no	—
100	#135	D₄	1	8	yes	complemented
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#131	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
127	#127	—	2	2	no	—
128	#127	—	2	4	no	—
129	#127	—	2	1	no	—
130	#127	—	2	1	no	—
131	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
132	#127	C₂³	1	4	yes	—
133	#124	—	2	2	no	—
134	#124	—	2	2	no	—
135	#124	D₄	1	2	yes	—
136	#123	—	2	4	no	—
137	#123	—	2	8	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	8	no	—
143	#121	D₄	1	4	yes	—
144	#121	C₂³	1	8	yes	—
145	#120	—	2	4	no	—
146	#120	—	2	8	no	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
156	#117	—	2	1	no	—
157	#117	—	2	1	no	—
158	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	#107	C₂³	1	2	yes	—
166	#106	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
168	#103	C₂³	1	2	yes	—
169	#103	C₂³	1	2	yes	—
170	#103	C₂³	1	8	yes	—
171	#102	C₂³	1	2	yes	—
172	#102	C₂³	1	2	yes	—
173	#102	C₂³	1	8	yes	—
174	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
175	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	2	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	2	2	no	—
183	#41	—	2	8	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	4	4	no	—
186	#41	—	4	4	no	—
187	#41	—	4	8	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	#41	—	4	16	no	—
190	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	#41	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
199	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂×D₄	—	2	1	no	—
204	C₂×D₄	—	2	1	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	2	8	no	—
238	Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
239	SD₁₆	—	2	8	no	—
240	SD₁₆	—	2	8	no	—
241	SD₁₆	—	2	8	no	—
242	SD₁₆	—	2	8	no	—
243	SD₁₆	—	4	8	no	—
244	SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
245	SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
246	D₈	—	2	8	no	—
247	D₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
253	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	4	no	—
289	Q₈	—	2	1	no	—
290	Q₈	—	2	1	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	2	4	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	2	4	no	—
299	D₄	—	2	8	no	—
300	D₄	—	2	4	no	—
301	D₄	—	2	8	no	—
302	D₄	—	2	4	no	—
303	D₄	—	2	1	no	—
304	D₄	—	2	1	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	16	4	no	—
352	C₂²	—	16	8	no	—
353	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	D₄²	1	2	yes	—
363	C₄	#577	1	4	yes	complemented
364	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	4	4	no	—
368	C₂	—	4	2	no	—
369	C₂	—	4	2	no	—
370	C₂	—	8	4	no	—
371	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#577	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#577	C₂	semidirect
2. #3499	C₂	semidirect
3. #3498	C₂	semidirect
4. #3284	C₂	semidirect
5. D₄×SD₁₆	C₂	semidirect
6. #3278	C₂	semidirect
7. #3272	C₂	semidirect
8. C₂×#492	C₂	semidirect
9. #3057	C₂	semidirect
10. #3039	C₂	semidirect
11. #3038	C₂	semidirect
12. #3010	C₂	semidirect
13. #3009	C₂	semidirect
14. C₄×#135	C₂	semidirect
15. #2931	C₂	semidirect
16. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
20. C₂×#137	C₂²	semidirect
21. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
22. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
24. C₂×#135	C₂²	semidirect
25. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
27. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂×#131	C₂²	semidirect
30. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
32. #547	C₂²	semidirect
36. #536	C₂²	semidirect
43. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
47. C₄×#41	C₂²	semidirect
48. #492	C₂²	semidirect
49. #492	C₂²	semidirect
50. #468	C₂²	semidirect
51. #465	C₂²	semidirect
52. #462	C₂²	semidirect
53. #461	C₂²	semidirect
54. #460	C₂²	semidirect
55. #459	C₂²	semidirect
56. #452	C₂²	semidirect
57. #450	C₂²	semidirect
58. #449	C₂²	semidirect
59. #448	C₂²	semidirect
60. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
61. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
62. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
63. C₄×D₈	C₂²	semidirect
64. #436	C₂²	semidirect
65. C₈×D₄	C₂²	semidirect
66. #427	C₂²	semidirect
67. #423	C₂²	semidirect
68. #419	C₂²	semidirect
69. #418	C₂²	semidirect
71. #416	C₂²	semidirect
72. #408	C₂²	semidirect
73. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
100. #135	D₄	semidirect
191. #41	C₂×D₄	semidirect
238. Q₁₆	C₂×D₄	semidirect
244. SD₁₆	C₂×D₄	semidirect
245. SD₁₆	C₂×D₄	semidirect
247. D₈	C₂×D₄	semidirect
252. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
363. C₄	#577	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#577	2
#3499	2
#3498	2
#3284	2
D₄×SD₁₆	2
#3278	2
#3272	2
C₂×#492	2
#3057	2
#3039	2
#3038	2
#3010	2
#3009	2
C₄×#135	2
#2931	2