Subgroups — #61089

Order 256.

1461 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 253 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#576	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3498	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3287	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	D₄×D₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3274	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3038	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3008	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	complemented
13	#576	—	2	16	no	—
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#550	C₂²	1	8	yes	complemented
23	D₄²	—	2	8	no	—
24	D₄²	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#535	—	2	4	no	—
26	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#532	—	2	2	no	—
28	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#127	—	2	2	no	—
30	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#493	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#493	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#469	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#449	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#447	C₂²	1	16	yes	complemented
40	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
42	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#436	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
52	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
53	C₂×#41	—	2	4	no	—
54	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
63	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
64	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
65	#135	—	2	16	no	—
66	#135	D₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×D₈	—	2	16	no	—
71	C₂×D₈	—	2	8	no	—
72	C₂×D₈	—	4	4	no	—
73	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#131	—	2	8	no	—
79	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#127	—	2	4	no	—
86	#127	—	2	8	no	—
87	#127	—	2	2	no	—
88	#127	—	2	2	no	—
89	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#127	C₂³	1	8	yes	—
91	#124	—	2	4	no	—
92	#124	D₄	1	2	yes	—
93	#121	—	2	8	no	—
94	#121	—	2	16	no	—
95	#121	D₄	1	4	yes	—
96	#121	C₂³	1	16	yes	—
97	#120	—	2	8	no	—
98	#120	—	2	16	no	—
99	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₄×D₄	—	2	4	no	—
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
104	#117	—	2	2	no	—
105	#117	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#107	C₂³	1	2	yes	—
109	#106	C₂³	1	2	yes	—
110	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
111	#103	C₂³	1	4	yes	—
112	#102	C₂³	1	4	yes	—
113	#102	C₂³	1	16	yes	—
114	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
115	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂⁴	—	2	8	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	#41	—	2	4	no	—
120	#41	—	2	4	no	—
121	#41	—	2	4	no	—
122	#41	—	2	16	no	—
123	#41	—	4	8	no	—
124	#41	—	4	16	no	—
125	#41	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
126	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	16	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂×D₄	—	4	16	no	—
140	C₂×D₄	—	4	32	no	—
141	C₂×D₄	—	8	8	no	—
142	C₂×D₄	—	8	16	no	—
143	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
155	SD₁₆	—	2	16	no	—
156	SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
157	D₈	—	2	16	no	—
158	D₈	—	2	8	no	—
159	D₈	—	2	8	no	—
160	D₈	—	4	8	no	—
161	D₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
162	M₁₆	—	2	4	no	—
163	M₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	8	no	—
166	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
167	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	2	4	no	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	4	16	no	—
186	C₂³	—	4	8	no	—
187	C₂³	—	8	8	no	—
188	C₂³	—	8	16	no	—
189	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
190	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	2	4	no	—
192	Q₈	—	2	2	no	—
193	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
194	D₄	—	2	8	no	—
195	D₄	—	2	8	no	—
196	D₄	—	2	4	no	—
197	D₄	—	2	8	no	—
198	D₄	—	2	8	no	—
199	D₄	—	2	2	no	—
200	D₄	—	2	8	no	—
201	D₄	—	4	16	no	—
202	D₄	—	4	16	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	16	no	—
205	D₄	—	8	8	no	—
206	D₄	—	8	16	no	—
207	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
223	C₈	—	2	4	no	—
224	C₈	—	2	2	no	—
225	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	8	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	8	no	—
233	C₂²	—	4	16	no	—
234	C₂²	—	16	8	no	—
235	C₂²	—	16	16	no	—
236	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
237	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄	—	2	4	no	—
239	C₄	—	2	4	no	—
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	4	4	no	—
242	C₄	D₄²	1	2	yes	—
243	C₄	#576	1	4	yes	complemented
244	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
246	C₂	—	2	2	no	—
247	C₂	—	4	4	no	—
248	C₂	—	4	4	no	—
249	C₂	—	8	8	no	—
250	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
251	C₂	C₂×#576	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#576	C₂	semidirect
2. #3498	C₂	semidirect
3. #3287	C₂	semidirect
4. D₄×D₈	C₂	semidirect
5. #3274	C₂	semidirect
6. C₂×#493	C₂	semidirect
7. #3058	C₂	semidirect
8. #3038	C₂	semidirect
9. #3008	C₂	semidirect
10. C₄×#135	C₂	semidirect
11. #2931	C₂	semidirect
12. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
14. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
17. C₂×#135	C₂²	semidirect
18. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
19. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
20. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#131	C₂²	semidirect
22. #550	C₂²	semidirect
24. D₄²	C₂²	semidirect
26. #535	C₂²	semidirect
30. C₂×#127	C₂²	semidirect
31. C₄×#41	C₂²	semidirect
32. #493	C₂²	semidirect
33. #493	C₂²	semidirect
34. #469	C₂²	semidirect
35. #466	C₂²	semidirect
36. #460	C₂²	semidirect
37. #459	C₂²	semidirect
38. #449	C₂²	semidirect
39. #447	C₂²	semidirect
40. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
41. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
42. C₄×D₈	C₂²	semidirect
43. #436	C₂²	semidirect
44. C₈×D₄	C₂²	semidirect
45. #427	C₂²	semidirect
46. #423	C₂²	semidirect
47. #418	C₂²	semidirect
48. #416	C₂²	semidirect
49. #408	C₂²	semidirect
50. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
66. #135	D₄	semidirect
125. #41	C₂×D₄	semidirect
154. Q₁₆	C₂×D₄	semidirect
156. SD₁₆	C₂×D₄	semidirect
161. D₈	C₂×D₄	semidirect
166. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
243. C₄	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#576	2
#3498	2
#3287	2
D₄×D₈	2
#3274	2
C₂×#493	2
#3058	2
#3038	2
#3008	2
C₄×#135	2
#2931	2