Subgroups — C₂×#3289 #61099

Order 256.

1310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#578	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#577	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3289	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#456	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#578	—	2	8	no	—
15	#578	C₂²	1	16	yes	complemented
16	#577	—	2	8	no	—
17	#577	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#137	—	2	2	no	—
19	C₂×#137	—	2	2	no	—
20	C₂×#137	—	2	2	no	—
21	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
25	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#135	—	2	2	no	—
27	C₂×#135	—	2	2	no	—
28	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#497	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#473	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#471	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#456	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#455	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#454	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#444	C₂²	1	16	yes	complemented
44	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
52	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
53	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
54	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
55	2₋¹⁺⁴	—	4	1	no	—
56	2₋¹⁺⁴	C₂³	1	8	yes	—
57	2₋¹⁺⁴	C₂³	1	4	yes	complemented
58	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
59	H(5,𝔽₂)	—	4	1	no	—
60	H(5,𝔽₂)	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#41	—	2	2	no	—
62	C₂×#41	—	2	2	no	—
63	C₂×#41	—	2	2	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	4	2	no	—
66	C₂×#41	—	4	1	no	—
67	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#137	—	2	4	no	—
78	#137	—	2	4	no	—
79	#137	—	2	4	no	—
80	#137	—	2	16	no	—
81	#137	—	2	16	no	—
82	#137	—	2	16	no	—
83	#137	C₂³	1	8	yes	—
84	#137	C₂³	1	8	yes	—
85	#137	C₂³	1	8	yes	complemented
86	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
87	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
88	AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	8	yes	—
89	#135	—	2	16	no	—
90	#135	—	2	16	no	—
91	#135	D₄	1	8	yes	—
92	#135	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
97	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
102	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
111	C₂×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	D₄	1	2	yes	—
115	#131	—	2	4	no	—
116	#131	—	2	4	no	—
117	#131	C₂³	1	8	yes	—
118	#131	C₂³	1	8	yes	complemented
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
127	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
128	#124	—	4	1	no	—
129	#124	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#108	C₂³	1	8	yes	complemented
134	#104	C₂³	1	8	yes	—
135	#104	C₂³	1	8	yes	complemented
136	#101	C₂³	1	4	yes	complemented
137	#101	C₂³	1	8	yes	complemented
138	#100	C₂³	1	4	yes	—
139	#97	C₂³	1	4	yes	complemented
140	C₂⁴	—	2	1	no	—
141	C₂⁴	—	4	1	no	—
142	#41	—	2	2	no	—
143	#41	—	2	2	no	—
144	#41	—	2	2	no	—
145	#41	—	2	2	no	—
146	#41	—	2	8	no	—
147	#41	—	2	8	no	—
148	#41	—	2	8	no	—
149	#41	—	2	8	no	—
150	#41	—	4	8	no	—
151	#41	—	4	4	no	—
152	#41	—	4	4	no	—
153	#41	—	4	4	no	—
154	#41	—	4	4	no	—
155	#41	—	4	4	no	—
156	#41	—	4	8	no	—
157	#41	—	4	4	no	—
158	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	#41	C₂⁴	1	4	yes	—
161	#41	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	1	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	Q₁₆	—	2	8	no	—
208	Q₁₆	—	2	8	no	—
209	Q₁₆	—	2	8	no	—
210	Q₁₆	—	2	8	no	—
211	Q₁₆	—	2	8	no	—
212	Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	SD₁₆	—	2	8	no	—
214	SD₁₆	—	2	8	no	—
215	SD₁₆	—	2	8	no	—
216	SD₁₆	—	2	8	no	—
217	SD₁₆	—	2	8	no	—
218	SD₁₆	—	2	8	no	—
219	SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
220	SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
221	D₈	—	2	8	no	—
222	D₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	M₁₆	—	2	2	no	—
224	M₁₆	—	2	2	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
228	M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	8	no	—
233	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	4	1	no	—
246	C₂³	—	4	1	no	—
247	C₂³	—	8	2	no	—
248	C₂³	—	16	2	no	—
249	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	2	2	no	—
251	Q₈	—	2	2	no	—
252	Q₈	—	2	4	no	—
253	Q₈	—	2	4	no	—
254	Q₈	—	2	4	no	—
255	Q₈	—	4	8	no	—
256	Q₈	—	4	4	no	—
257	Q₈	—	4	2	no	—
258	Q₈	—	4	2	no	—
259	Q₈	—	4	2	no	—
260	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
261	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	D₄	—	2	4	no	—
263	D₄	—	2	4	no	—
264	D₄	—	2	4	no	—
265	D₄	—	2	4	no	—
266	D₄	—	2	2	no	—
267	D₄	—	2	2	no	—
268	D₄	—	2	4	no	—
269	D₄	—	4	8	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	4	2	no	—
273	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	2	4	no	—
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
300	C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	8	2	no	—
308	C₂²	—	8	2	no	—
309	C₂²	—	16	1	no	—
310	C₂²	—	16	4	no	—
311	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	D₄²	1	2	yes	—
320	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	1	no	—
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	4	4	no	—
324	C₂	—	4	4	no	—
325	C₂	—	8	2	no	—
326	C₂	#3289	1	2	yes	direct product factor
327	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#578	C₂	semidirect
2. C₂×#577	C₂	semidirect
3. #3289	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#497	C₂	semidirect
5. C₂×#473	C₂	semidirect
6. C₂×#471	C₂	semidirect
7. C₂×#456	C₂	semidirect
8. C₂×#454	C₂	semidirect
9. C₂×#455	C₂	semidirect
10. C₂×#444	C₂	semidirect
12. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
15. #578	C₂²	semidirect
17. #577	C₂²	semidirect
23. C₂×#137	C₂²	semidirect
30. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
34. C₂×#131	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
37. #497	C₂²	semidirect
38. #473	C₂²	semidirect
39. #471	C₂²	semidirect
40. #456	C₂²	semidirect
41. #455	C₂²	semidirect
42. #454	C₂²	semidirect
43. #444	C₂²	semidirect
44. C₂×#108	C₂²	semidirect
46. C₂×#104	C₂²	semidirect
47. C₂×#101	C₂²	semidirect
48. C₂×#101	C₂²	semidirect
50. C₂×#97	C₂²	semidirect
57. 2₋¹⁺⁴	C₂³	semidirect
85. #137	C₂³	semidirect
101. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
118. #131	C₂³	semidirect
127. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
133. #108	C₂³	semidirect
135. #104	C₂³	semidirect
136. #101	C₂³	semidirect
137. #101	C₂³	semidirect
139. #97	C₂³	semidirect
326. C₂	#3289	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#578	2
C₂×#577	2
#3289	2
C₂×#497	2
C₂×#473	2
C₂×#471	2
C₂×#456	2
C₂×#454	2
C₂×#455	2
C₂×#444	2

Subgroups — C2×#3289 #61099

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#3289 #61099