Subgroups — #61203

Order 256.

1034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3313	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3299	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
22	#556	C₂²	1	2	yes	—
23	#555	C₂²	1	2	yes	—
24	#554	C₂²	1	2	yes	—
25	#553	—	2	2	no	—
26	#550	—	2	1	no	—
27	#550	C₂²	1	2	yes	—
28	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#548	—	2	2	no	—
31	#548	—	2	2	no	—
32	#548	C₂²	1	4	yes	—
33	#547	C₂²	1	2	yes	—
34	#542	—	2	2	no	—
35	#537	—	2	2	no	—
36	#537	C₂²	1	2	yes	—
37	#537	C₂²	1	2	yes	—
38	#533	—	2	1	no	—
39	#532	—	2	1	no	—
40	#532	—	2	2	no	—
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#520	C₂²	1	2	yes	—
45	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#489	C₂²	1	4	yes	—
48	#487	C₂²	1	2	yes	—
49	#486	C₂²	1	2	yes	—
50	#485	C₂²	1	4	yes	—
51	#484	C₂²	1	4	yes	—
52	#482	C₂²	1	4	yes	—
53	#480	C₂²	1	4	yes	—
54	#477	C₂²	1	2	yes	—
55	#477	C₂²	1	2	yes	—
56	#477	C₂²	1	4	yes	—
57	#468	C₂²	1	4	yes	—
58	#468	C₂²	1	4	yes	—
59	#467	C₂²	1	4	yes	—
60	#466	C₂²	1	4	yes	—
61	#464	C₂²	1	2	yes	—
62	#463	C₂²	1	2	yes	—
63	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#459	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#452	C₂²	1	4	yes	—
68	#451	C₂²	1	4	yes	—
69	#449	C₂²	1	4	yes	—
70	#448	C₂²	1	4	yes	—
71	#441	C₂²	1	2	yes	—
72	#440	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
75	#436	C₂²	1	2	yes	—
76	#435	C₂²	1	4	yes	—
77	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
78	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#419	C₂²	1	4	yes	—
82	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#417	C₂²	1	4	yes	—
84	#417	C₂²	1	2	yes	—
85	#417	C₂²	1	2	yes	—
86	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#416	C₂²	1	2	yes	—
88	#416	C₂²	1	4	yes	—
89	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
91	#408	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
94	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#137	—	2	4	no	—
107	#135	—	4	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#131	—	4	4	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
127	#127	—	2	2	no	—
128	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
129	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#126	—	2	4	no	—
131	#125	—	2	2	no	—
132	#124	—	2	2	no	—
133	#124	—	2	4	no	—
134	#124	—	2	4	no	—
135	#124	D₄	1	2	yes	—
136	#124	C₂³	1	2	yes	—
137	#123	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
146	#121	—	2	4	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	2	no	—
149	#121	—	2	4	no	—
150	#121	—	2	2	no	—
151	#121	—	2	4	no	—
152	#121	—	2	1	no	—
153	#121	—	2	1	no	—
154	#121	—	2	4	no	—
155	#121	D₄	1	2	yes	—
156	#121	D₄	1	2	yes	—
157	#121	C₂³	1	4	yes	—
158	#121	C₂³	1	4	yes	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	1	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	1	no	—
177	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	1	no	—
183	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
184	#117	C₂³	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	#107	C₂³	1	4	yes	—
194	#107	C₂³	1	4	yes	—
195	#107	C₂³	1	2	yes	—
196	#106	C₂³	1	2	yes	—
197	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	#103	C₂³	1	4	yes	—
201	#103	C₂³	1	2	yes	—
202	#103	C₂³	1	2	yes	—
203	#103	C₂³	1	4	yes	—
204	#103	C₂³	1	4	yes	—
205	#103	C₂³	1	2	yes	—
206	#103	C₂³	1	2	yes	—
207	#103	C₂³	1	2	yes	—
208	#103	C₂³	1	4	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#102	C₂³	1	2	yes	—
211	#102	C₂³	1	4	yes	—
212	#102	C₂³	1	2	yes	—
213	#102	C₂³	1	4	yes	—
214	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
215	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
216	#97	C₂³	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	2	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	2	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	16	no	—
227	#41	—	4	8	no	—
228	#41	—	8	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
240	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	1	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	—	2	1	no	—
250	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
270	Q₁₆	—	2	4	no	—
271	Q₁₆	—	4	2	no	—
272	SD₁₆	—	2	4	no	—
273	SD₁₆	—	4	2	no	—
274	SD₁₆	—	4	2	no	—
275	D₈	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	2	2	no	—
277	M₁₆	—	2	2	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
315	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
316	C₄²	—	2	1	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	1	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	—	2	1	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
329	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	2	1	no	—
334	Q₈	—	2	2	no	—
335	Q₈	—	2	1	no	—
336	Q₈	—	2	2	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	Q₈	—	8	2	no	—
340	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
341	D₄	—	2	8	no	—
342	D₄	—	2	4	no	—
343	D₄	—	2	4	no	—
344	D₄	—	2	1	no	—
345	D₄	—	2	2	no	—
346	D₄	—	2	1	no	—
347	D₄	—	2	2	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	8	1	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	1	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	1	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	4	1	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	#546	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	2	4	no	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	—	4	1	no	—
413	C₄	—	4	1	no	—
414	C₄	#546	1	2	yes	—
415	C₄	#578	1	2	yes	—
416	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	4	4	no	—
420	C₂	—	8	1	no	—
421	C₂	—	8	2	no	—
422	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3511	C₂	semidirect
2. #3497	C₂	semidirect
3. #3333	C₂	semidirect
4. #3329	C₂	semidirect
5. #3313	C₂	semidirect
6. #3308	C₂	semidirect
7. #3305	C₂	semidirect
8. #3299	C₂	semidirect
9. #3141	C₂	semidirect
10. #3098	C₂	semidirect
11. C₂×#477	C₂	semidirect
12. #3061	C₂	semidirect
13. #3035	C₂	semidirect
14. #3013	C₂	semidirect
15. C₄×#137	C₂	semidirect
16. #2935	C₂	semidirect
17. #2898	C₂	semidirect
239. C₂×Q₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3497	2
#3333	2
#3329	2
#3313	2
#3308	2
#3305	2
#3299	2
#3141	2
#3098	2
C₂×#477	2
#3061	2
#3035	2
#3013	2
C₄×#137	2
#2935	2
#2898	2