Subgroups — #61213

Order 256.

1045 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3301	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3099	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3078	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3062	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3036	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3010	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
22	#559	—	2	2	no	—
23	#556	—	2	1	no	—
24	#555	C₂²	1	2	yes	—
25	#553	C₂²	1	4	yes	—
26	#550	—	2	1	no	—
27	#550	—	2	1	no	—
28	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
29	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
30	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#548	—	2	2	no	—
32	#548	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#547	C₂²	1	2	yes	—
34	#538	—	2	2	no	—
35	#537	—	2	2	no	—
36	#537	C₂²	1	2	yes	—
37	#535	C₂²	1	2	yes	—
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#532	—	2	2	no	—
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#525	—	2	2	no	—
43	#520	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#469	C₂²	1	4	yes	—
60	#468	C₂²	1	4	yes	—
61	#466	C₂²	1	4	yes	—
62	#465	C₂²	1	4	yes	—
63	#463	C₂²	1	4	yes	—
64	#461	C₂²	1	2	yes	—
65	#459	C₂²	1	2	yes	—
66	#449	C₂²	1	4	yes	—
67	#449	C₂²	1	4	yes	—
68	#448	C₂²	1	4	yes	—
69	#448	C₂²	1	4	yes	—
70	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
74	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
77	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#428	C₂²	1	2	yes	—
79	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#419	C₂²	1	2	yes	—
82	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
83	#417	C₂²	1	2	yes	—
84	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
85	#416	C₂²	1	2	yes	—
86	#416	C₂²	1	2	yes	—
87	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
88	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
90	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#408	C₂²	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
94	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
112	#131	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#127	—	2	2	no	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
126	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#126	—	2	4	no	—
128	#125	C₂³	1	2	yes	—
129	#124	—	2	2	no	—
130	#124	—	2	4	no	—
131	#124	—	2	4	no	—
132	#124	D₄	1	2	yes	—
133	#124	C₂³	1	2	yes	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	#123	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
143	#121	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	4	no	—
145	#121	—	2	4	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	—	2	4	no	—
148	#121	—	2	1	no	—
149	#121	—	2	1	no	—
150	#121	—	2	4	no	—
151	#121	D₄	1	2	yes	—
152	#121	D₄	1	2	yes	—
153	#121	C₂³	1	4	yes	—
154	#121	C₂³	1	4	yes	—
155	#121	C₂³	1	4	yes	—
156	#120	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
163	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	1	no	—
171	C₄×D₄	—	2	1	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
175	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
176	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	C₂³	1	2	yes	—
180	#117	C₂³	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
188	#107	C₂³	1	4	yes	—
189	#106	C₂³	1	2	yes	—
190	#106	C₂³	1	2	yes	—
191	#106	C₂³	1	4	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	#103	C₂³	1	2	yes	—
195	#103	C₂³	1	2	yes	—
196	#103	C₂³	1	2	yes	—
197	#103	C₂³	1	4	yes	—
198	#103	C₂³	1	4	yes	—
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	2	yes	—
201	#103	C₂³	1	2	yes	—
202	#103	C₂³	1	4	yes	—
203	#102	C₂³	1	2	yes	—
204	#102	C₂³	1	2	yes	—
205	#102	C₂³	1	2	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	2	yes	—
208	#102	C₂³	1	2	yes	—
209	#102	C₂³	1	4	yes	—
210	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
211	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
212	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
213	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
214	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	8	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	16	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	#41	—	8	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
236	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	1	no	—
244	C₂×D₄	—	2	1	no	—
245	C₂×D₄	—	2	1	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	SD₁₆	—	2	4	no	—
269	SD₁₆	—	2	4	no	—
270	SD₁₆	—	4	4	no	—
271	D₈	—	4	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
311	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	8	1	no	—
324	C₂³	—	8	1	no	—
325	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
326	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	2	4	no	—
328	Q₈	—	2	4	no	—
329	Q₈	—	2	2	no	—
330	Q₈	—	2	2	no	—
331	Q₈	—	2	2	no	—
332	Q₈	—	4	8	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	Q₈	—	8	1	no	—
335	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
336	D₄	—	2	8	no	—
337	D₄	—	2	4	no	—
338	D₄	—	2	4	no	—
339	D₄	—	2	2	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	4	2	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	8	1	no	—
349	D₄	—	8	4	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	1	no	—
369	C₂×C₄	—	8	1	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
380	C₈	—	2	1	no	—
381	C₈	—	2	1	no	—
382	C₈	—	2	1	no	—
383	C₈	—	2	1	no	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	#546	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	#546	1	2	yes	—
410	C₄	#577	1	2	yes	—
411	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
412	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	4	4	no	—
415	C₂	—	8	2	no	—
416	C₂	—	8	2	no	—
417	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. #3497	C₂	semidirect
3. #3332	C₂	semidirect
4. #3329	C₂	semidirect
5. #3326	C₂	semidirect
6. #3305	C₂	semidirect
7. #3301	C₂	semidirect
8. #3298	C₂	semidirect
9. #3131	C₂	semidirect
10. #3099	C₂	semidirect
11. #3078	C₂	semidirect
12. #3062	C₂	semidirect
13. #3036	C₂	semidirect
14. #3010	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
16. #2931	C₂	semidirect
17. #2898	C₂	semidirect
28. #550	C₂²	semidirect
30. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
32. #548	C₂²	semidirect
46. #488	C₂²	semidirect
47. #488	C₂²	semidirect
48. #487	C₂²	semidirect
49. #487	C₂²	semidirect
50. #486	C₂²	semidirect
51. #486	C₂²	semidirect
52. #485	C₂²	semidirect
53. #483	C₂²	semidirect
54. #482	C₂²	semidirect
55. #481	C₂²	semidirect
56. #479	C₂²	semidirect
57. #477	C₂²	semidirect
58. #475	C₂²	semidirect
74. #436	C₂²	semidirect
75. #436	C₂²	semidirect
76. C₈×D₄	C₂²	semidirect
77. C₈×D₄	C₂²	semidirect
82. #419	C₂²	semidirect
84. #417	C₂²	semidirect
87. #416	C₂²	semidirect
89. C₂×#103	C₂²	semidirect
235. C₂×Q₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
#3497	2
#3332	2
#3329	2
#3326	2
#3305	2
#3301	2
#3298	2
#3131	2
#3099	2
#3078	2
#3062	2
#3036	2
#3010	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2931	2
#2898	2