Subgroups — #61219

Order 256.

1051 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3507	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3315	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3314	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3311	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3310	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3077	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3037	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3009	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×#440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#559	—	2	1	no	—
21	#557	—	2	1	no	—
22	#556	—	2	2	no	—
23	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#554	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#552	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#547	—	2	1	no	—
27	#547	C₂²	1	2	yes	—
28	#546	—	2	2	no	—
29	#546	C₂²	1	4	yes	—
30	D₄²	—	2	1	no	—
31	D₄²	C₂²	1	2	yes	—
32	#539	—	2	2	no	—
33	#537	C₂²	1	2	yes	—
34	#536	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#534	—	2	2	no	—
36	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#529	—	2	2	no	—
40	C₂×#121	—	2	2	no	—
41	#520	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#467	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#418	C₂²	1	2	yes	—
74	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
75	#417	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
77	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
79	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
80	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
83	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
85	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
86	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	#137	—	4	4	no	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
103	#131	—	4	4	no	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
115	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#126	—	2	4	no	—
117	#126	—	2	4	no	—
118	#125	—	2	2	no	—
119	#125	—	2	4	no	—
120	#125	C₂³	1	2	yes	—
121	#124	—	2	2	no	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	D₄	1	2	yes	—
124	#124	C₂³	1	2	yes	—
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	2	no	—
139	#121	—	2	1	no	—
140	#121	—	2	1	no	—
141	#121	—	2	2	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	D₄	1	2	yes	—
144	#121	D₄	1	2	yes	—
145	#121	C₂³	1	4	yes	—
146	#120	—	2	4	no	—
147	#120	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	C₂³	1	2	yes	—
169	#117	C₂³	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	#107	C₂³	1	4	yes	—
180	#107	C₂³	1	4	yes	—
181	#106	C₂³	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	2	yes	—
186	#103	C₂³	1	4	yes	—
187	#103	C₂³	1	2	yes	—
188	#103	C₂³	1	2	yes	—
189	#103	C₂³	1	2	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	#102	C₂³	1	2	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	#102	C₂³	1	4	yes	—
194	#102	C₂³	1	4	yes	—
195	#102	C₂³	1	2	yes	—
196	#102	C₂³	1	2	yes	—
197	#102	C₂³	1	2	yes	—
198	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
199	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
200	#97	C₂³	1	2	yes	—
201	#97	C₂³	1	2	yes	—
202	C₂⁴	—	2	1	no	—
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	8	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
252	Q₁₆	—	4	4	no	—
253	SD₁₆	—	2	8	no	—
254	SD₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
294	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	8	1	no	—
308	C₂³	—	8	1	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
312	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	2	4	no	—
314	Q₈	—	2	2	no	—
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	2	2	no	—
317	Q₈	—	2	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	8	1	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	2	4	no	—
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	2	2	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	8	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	8	1	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	1	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	1	no	—
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	16	8	no	—
379	C₂²	#546	1	2	yes	—
380	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	#546	1	2	yes	—
393	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	4	4	no	—
397	C₂	—	4	4	no	—
398	C₂	—	8	2	no	—
399	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3496	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3507	C₂	semidirect
3. #3315	C₂	semidirect
4. #3314	C₂	semidirect
5. #3311	C₂	semidirect
6. #3310	C₂	semidirect
7. #3135	C₂	semidirect
8. #3098	C₂	semidirect
9. #3077	C₂	semidirect
10. #3063	C₂	semidirect
11. #3037	C₂	semidirect
12. #3009	C₂	semidirect
13. C₂×#440	C₂	semidirect
14. #2932	C₂	semidirect
15. #2897	C₂	semidirect
17. C₂×#137	C₂²	semidirect
19. C₂×#131	C₂²	semidirect
23. #556	C₂²	semidirect
24. #554	C₂²	semidirect
25. #552	C₂²	semidirect
34. #536	C₂²	semidirect
36. #533	C₂²	semidirect
41. #520	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
44. #491	C₂²	semidirect
45. #490	C₂²	semidirect
46. #489	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #485	C₂²	semidirect
49. #484	C₂²	semidirect
50. #482	C₂²	semidirect
51. #480	C₂²	semidirect
52. #478	C₂²	semidirect
53. #476	C₂²	semidirect
54. #474	C₂²	semidirect
55. #470	C₂²	semidirect
56. #468	C₂²	semidirect
57. #467	C₂²	semidirect
58. #465	C₂²	semidirect
59. #464	C₂²	semidirect
60. #462	C₂²	semidirect
61. #460	C₂²	semidirect
62. #452	C₂²	semidirect
63. #452	C₂²	semidirect
64. #450	C₂²	semidirect
65. #450	C₂²	semidirect
66. #440	C₂²	semidirect
67. #440	C₂²	semidirect
68. #435	C₂²	semidirect
69. #435	C₂²	semidirect
70. #428	C₂²	semidirect
71. C₂×#107	C₂²	semidirect
72. #423	C₂²	semidirect
74. #418	C₂²	semidirect
75. #417	C₂²	semidirect
76. #417	C₂²	semidirect
77. #416	C₂²	semidirect
78. #416	C₂²	semidirect
79. #416	C₂²	semidirect
80. C₂×#103	C₂²	semidirect
82. C₂×#102	C₂²	semidirect
83. #408	C₂²	semidirect
84. C₂×#97	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3507	2
#3496	2
#3315	2
#3314	2
#3311	2
#3310	2
#3135	2
#3098	2
#3077	2
#3063	2
#3037	2
#3009	2
C₂×#440	2
#2932	2
#2897	2