Subgroups — #612326

Order 512.

2238 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#17080	C₂	1	3	yes	maximal
2	#17072	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17003	C₂	1	6	yes	maximal
4	#16630	C₂	1	6	yes	maximal
5	C₄×#395	C₂	1	6	yes	maximal
6	#13850	C₂	1	6	yes	maximal
7	C₄×#391	C₂	1	3	yes	maximal
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂×#395	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂×#391	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×#391	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1446	C₂²	1	12	yes	—
18	#1446	C₂²	1	6	yes	—
19	#1445	C₂²	1	12	yes	—
20	#1444	C₂²	1	6	yes	—
21	#1444	C₂²	1	12	yes	—
22	#1441	C₂²	1	6	yes	—
23	#1441	C₂²	1	6	yes	—
24	#1441	C₂²	1	6	yes	—
25	#1441	C₂²	1	6	yes	—
26	#1441	C₂²	1	12	yes	—
27	#1441	C₂²	1	6	yes	—
28	#1436	C₂²	1	12	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
31	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
32	C₄×#95	C₂²	1	12	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	4	6	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	—	4	6	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	4	12	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	24	yes	complemented
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#395	—	2	24	no	—
52	#391	—	2	12	no	—
53	#391	—	2	12	no	—
54	C₄×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
55	C₄×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
56	#376	—	4	4	no	—
57	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
60	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
62	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
68	C₄³	—	4	2	no	—
69	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
71	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
72	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
78	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₄×Q₈	—	4	48	no	—
87	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	12	yes	—
106	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
114	C₂×C₄²	—	4	3	no	—
115	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	4	3	no	—
117	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	24	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
119	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
120	#95	—	2	24	no	—
121	#95	—	2	24	no	—
122	#95	—	2	12	no	—
123	#95	—	2	24	no	—
124	#95	—	4	12	no	—
125	#95	—	4	12	no	—
126	#95	—	4	6	no	—
127	#95	—	4	2	no	—
128	#95	—	4	6	no	—
129	#95	—	4	6	no	—
130	#95	—	4	12	no	—
131	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
132	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
135	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
136	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
137	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
138	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
139	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
169	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
177	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
179	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
182	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
183	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
186	C₄²	—	2	24	no	—
187	C₄²	—	2	48	no	—
188	C₄²	—	4	4	no	—
189	C₄²	—	4	12	no	—
190	C₄²	—	4	24	no	—
191	C₂³	C₂³×Q₈	1	3	yes	—
192	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
194	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
195	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
196	C₂³	#585	1	1	yes	characteristic
197	C₂³	#585	1	3	yes	—
198	Q₈	—	4	48	no	—
199	Q₈	—	4	32	no	—
200	C₂×C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄	—	2	12	no	—
207	C₂×C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄	—	2	12	no	—
211	C₂×C₄	—	2	12	no	—
212	C₂×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂×C₄	—	4	6	no	—
216	C₂×C₄	—	4	6	no	—
217	C₂×C₄	—	4	12	no	—
218	C₂×C₄	—	4	6	no	—
219	C₂×C₄	—	4	12	no	—
220	C₂×C₄	—	4	6	no	—
221	C₂×C₄	—	4	6	no	—
222	C₂×C₄	—	4	6	no	—
223	C₂×C₄	—	4	3	no	—
224	C₂×C₄	—	4	6	no	—
225	C₂×C₄	—	4	6	no	—
226	C₂×C₄	—	4	6	no	—
227	C₂×C₄	—	4	3	no	—
228	C₂×C₄	—	4	6	no	—
229	C₂×C₄	—	4	12	no	—
230	C₂×C₄	—	4	6	no	—
231	C₂×C₄	—	4	12	no	—
232	C₂×C₄	—	4	6	no	—
233	C₂×C₄	#533	1	12	yes	—
234	C₂×C₄	#543	1	12	yes	—
235	C₂×C₄	Q₈²	1	12	yes	—
236	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	—
237	C₂²	C₂×#533	1	3	yes	—
238	C₂²	C₂×#543	1	3	yes	—
239	C₂²	#3458	1	3	yes	—
240	C₂²	#3459	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#3459	1	3	yes	—
242	C₂²	#3460	1	3	yes	—
243	C₂²	#3460	1	3	yes	—
244	C₂²	C₂×Q₈²	1	3	yes	—
245	C₂²	Q₈×#41	1	6	yes	—
246	C₂²	#3481	1	3	yes	—
247	C₂²	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	#3529	1	3	yes	—
249	C₄	—	2	12	no	—
250	C₄	—	4	12	no	—
251	C₄	—	4	6	no	—
252	C₄	—	4	12	no	—
253	C₄	—	4	12	no	—
254	C₄	—	8	6	no	—
255	C₄	#2811	1	8	yes	—
256	C₂	#34578	1	3	yes	—
257	C₂	#34950	1	3	yes	—
258	C₂	#36694	1	1	yes	characteristic
259	C₂	C₂×#2811	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#52287	1	3	yes	—
261	C₂	#52288	1	3	yes	—
262	C₂	#52301	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
38. C₂×C₄×Q₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#17080	2
#17072	2
#17003	2
#16630	2
C₄×#395	2
#13850	2
C₄×#391	2