Subgroups — #61234

Order 256.

937 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3475	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3340	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3337	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3335	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₂×#427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	#556	C₂²	1	2	yes	—
21	#555	C₂²	1	2	yes	—
22	#554	C₂²	1	2	yes	—
23	#553	C₂²	1	4	yes	—
24	#552	—	2	2	no	—
25	#552	C₂²	1	4	yes	—
26	#551	—	2	4	no	—
27	#547	C₂²	1	2	yes	—
28	#546	—	2	2	no	—
29	#533	C₂²	1	2	yes	—
30	#529	—	2	4	no	—
31	#529	—	2	2	no	—
32	#525	C₂²	1	4	yes	—
33	C₄×#41	—	2	2	no	—
34	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
37	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
72	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#427	C₂²	1	4	yes	—
75	#427	C₂²	1	2	yes	—
76	#427	C₂²	1	2	yes	—
77	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
79	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
80	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
81	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
82	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
83	C₂×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#416	C₂²	1	4	yes	—
86	#416	C₂²	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	#135	—	2	4	no	—
94	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#126	—	2	4	no	—
108	#126	—	2	4	no	—
109	#126	—	2	4	no	—
110	#125	—	2	4	no	—
111	#125	—	2	2	no	—
112	#125	C₂³	1	4	yes	—
113	#124	—	2	2	no	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	#123	—	2	4	no	—
117	#123	—	2	4	no	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
125	#121	—	2	4	no	—
126	#121	—	2	2	no	—
127	#121	C₂³	1	4	yes	—
128	#121	C₂³	1	4	yes	—
129	#120	—	2	4	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
144	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	C₂³	1	2	yes	—
155	#117	C₂³	1	4	yes	—
156	#117	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#107	C₂³	1	2	yes	—
169	#107	C₂³	1	2	yes	—
170	#107	C₂³	1	4	yes	—
171	#107	C₂³	1	4	yes	—
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	2	yes	—
174	#106	C₂³	1	2	yes	—
175	#106	C₂³	1	4	yes	—
176	#106	C₂³	1	4	yes	—
177	#106	C₂³	1	4	yes	—
178	#106	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	2	yes	—
187	#102	C₂³	1	2	yes	—
188	#102	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	2	2	no	—
229	SD₁₆	—	2	4	no	—
230	D₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
238	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
260	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	Q₈	—	2	2	no	—
293	Q₈	—	2	2	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	8	2	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	2	2	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	2	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	#135	1	4	yes	complemented
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	1	no	—
336	C₈	—	2	1	no	—
337	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
338	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	#547	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#135	1	4	yes	—
352	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	#547	1	2	yes	—
364	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
365	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	2	4	no	—
369	C₂	—	4	2	no	—
370	C₂	—	8	2	no	—
371	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3475	C₂	semidirect
2. #3342	C₂	semidirect
3. #3341	C₂	semidirect
4. #3340	C₂	semidirect
5. #3339	C₂	semidirect
6. #3338	C₂	semidirect
7. #3337	C₂	semidirect
8. #3336	C₂	semidirect
9. #3335	C₂	semidirect
10. #3334	C₂	semidirect
11. #3160	C₂	semidirect
12. #3091	C₂	semidirect
13. #3076	C₂	semidirect
14. #3050	C₂	semidirect
15. C₄×#135	C₂	semidirect
16. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
17. C₂×#427	C₂	semidirect
37. #500	C₂²	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
39. #499	C₂²	semidirect
40. #499	C₂²	semidirect
41. #498	C₂²	semidirect
42. #485	C₂²	semidirect
43. #485	C₂²	semidirect
44. #484	C₂²	semidirect
45. #483	C₂²	semidirect
46. #482	C₂²	semidirect
47. #482	C₂²	semidirect
48. #481	C₂²	semidirect
49. #480	C₂²	semidirect
50. #479	C₂²	semidirect
51. #478	C₂²	semidirect
52. #477	C₂²	semidirect
53. #476	C₂²	semidirect
54. #475	C₂²	semidirect
55. #474	C₂²	semidirect
56. #467	C₂²	semidirect
57. #467	C₂²	semidirect
58. #466	C₂²	semidirect
59. #466	C₂²	semidirect
60. #465	C₂²	semidirect
61. #465	C₂²	semidirect
62. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
63. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
64. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
65. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
66. C₄×D₈	C₂²	semidirect
67. C₄×D₈	C₂²	semidirect
78. #427	C₂²	semidirect
79. #427	C₂²	semidirect
80. #427	C₂²	semidirect
81. C₂×#107	C₂²	semidirect
82. C₂×#107	C₂²	semidirect
83. C₂×#106	C₂²	semidirect
237. C₂×C₈	#41	semidirect
303. D₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3475	2
#3342	2
#3341	2
#3340	2
#3339	2
#3338	2
#3337	2
#3336	2
#3335	2
#3334	2
#3160	2
#3091	2
#3076	2
#3050	2
C₄×#135	2
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#427	2