Subgroups — #61251

Order 256.

921 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3475	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3356	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3352	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3351	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#3076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2911	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	#556	C₂²	1	2	yes	—
19	#555	C₂²	1	2	yes	—
20	#554	C₂²	1	2	yes	—
21	#553	C₂²	1	4	yes	—
22	#552	—	2	2	no	—
23	#552	C₂²	1	4	yes	—
24	#551	—	2	4	no	—
25	#547	C₂²	1	2	yes	—
26	#546	—	2	2	no	—
27	#533	C₂²	1	2	yes	—
28	#529	—	2	4	no	—
29	#529	—	2	2	no	—
30	#525	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×#41	—	2	2	no	—
32	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
35	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
60	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	#436	C₂²	1	2	yes	—
65	#436	C₂²	1	2	yes	—
66	#436	C₂²	1	2	yes	—
67	#436	C₂²	1	2	yes	—
68	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#427	C₂²	1	4	yes	—
73	#427	C₂²	1	2	yes	—
74	#427	C₂²	1	2	yes	—
75	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#416	C₂²	1	4	yes	—
78	#416	C₂²	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	#135	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
90	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#126	—	2	4	no	—
98	#126	—	2	4	no	—
99	#126	—	2	4	no	—
100	#125	—	2	4	no	—
101	#125	—	2	2	no	—
102	#125	C₂³	1	4	yes	—
103	#124	—	2	2	no	—
104	#124	—	2	4	no	—
105	#123	—	2	4	no	—
106	#123	—	2	4	no	—
107	#123	—	2	4	no	—
108	#123	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
115	#121	—	2	4	no	—
116	#121	—	2	2	no	—
117	#121	C₂³	1	4	yes	—
118	#121	C₂³	1	4	yes	—
119	#120	—	2	4	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
124	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
132	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
133	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	C₂³	1	2	yes	—
143	#117	C₂³	1	4	yes	—
144	#117	C₂³	1	4	yes	—
145	#117	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#107	C₂³	1	2	yes	—
157	#107	C₂³	1	2	yes	—
158	#107	C₂³	1	4	yes	—
159	#107	C₂³	1	4	yes	—
160	#107	C₂³	1	2	yes	—
161	#107	C₂³	1	2	yes	—
162	#106	C₂³	1	2	yes	—
163	#106	C₂³	1	4	yes	—
164	#106	C₂³	1	4	yes	—
165	#106	C₂³	1	4	yes	—
166	#106	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
169	#103	C₂³	1	2	yes	—
170	#103	C₂³	1	2	yes	—
171	#103	C₂³	1	4	yes	—
172	#103	C₂³	1	4	yes	—
173	#102	C₂³	1	2	yes	—
174	#102	C₂³	1	2	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#102	C₂³	1	4	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	4	8	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	Q₁₆	—	2	2	no	—
211	SD₁₆	—	2	4	no	—
212	D₈	—	2	2	no	—
213	M₁₆	—	2	8	no	—
214	M₁₆	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
218	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	2	2	no	—
268	Q₈	—	2	2	no	—
269	Q₈	—	4	4	no	—
270	Q₈	—	8	2	no	—
271	D₄	—	2	4	no	—
272	D₄	—	2	2	no	—
273	D₄	—	2	2	no	—
274	D₄	—	4	2	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	1	no	—
305	C₈	—	2	1	no	—
306	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
307	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	#547	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	#547	1	2	yes	—
329	C₄	#575	1	2	yes	—
330	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	4	4	no	—
334	C₂	—	8	2	no	—
335	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3475	C₂	semidirect
2. #3357	C₂	semidirect
3. #3356	C₂	semidirect
4. #3355	C₂	semidirect
5. #3354	C₂	semidirect
6. #3353	C₂	semidirect
7. #3352	C₂	semidirect
8. #3351	C₂	semidirect
9. #3160	C₂	semidirect
10. #3091	C₂	semidirect
11. #3076	C₂	semidirect
12. #3054	C₂	semidirect
13. C₄×#135	C₂	semidirect
14. C₂×#436	C₂	semidirect
15. #2911	C₂	semidirect
35. #500	C₂²	semidirect
36. #500	C₂²	semidirect
37. #499	C₂²	semidirect
38. #499	C₂²	semidirect
39. #498	C₂²	semidirect
40. #485	C₂²	semidirect
41. #485	C₂²	semidirect
42. #484	C₂²	semidirect
43. #483	C₂²	semidirect
44. #482	C₂²	semidirect
45. #482	C₂²	semidirect
46. #481	C₂²	semidirect
47. #480	C₂²	semidirect
48. #479	C₂²	semidirect
49. #478	C₂²	semidirect
50. #477	C₂²	semidirect
51. #476	C₂²	semidirect
52. #475	C₂²	semidirect
53. #474	C₂²	semidirect
54. #470	C₂²	semidirect
55. #469	C₂²	semidirect
56. #468	C₂²	semidirect
57. #468	C₂²	semidirect
58. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
59. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
60. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
61. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
62. C₄×D₈	C₂²	semidirect
63. C₄×D₈	C₂²	semidirect
68. #428	C₂²	semidirect
69. #428	C₂²	semidirect
70. #428	C₂²	semidirect
71. #428	C₂²	semidirect
217. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3475	2
#3357	2
#3356	2
#3355	2
#3354	2
#3353	2
#3352	2
#3351	2
#3160	2
#3091	2
#3076	2
#3054	2
C₄×#135	2
C₂×#436	2
#2911	2