Subgroups — #613018

Order 512.

6866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2502	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#15092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#14786	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14693	C₂	1	4	yes	maximal
7	#14139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#2848	—	2	8	no	—
22	#2502	—	2	16	no	—
23	C₂×#398	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#385	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#385	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#385	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#379	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#379	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#1445	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1444	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1441	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
41	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
42	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂²⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
47	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
48	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
49	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
50	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
51	C₂⁴×C₄	D₄	1	8	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
87	#398	—	2	32	no	—
88	#391	—	2	16	no	—
89	#385	—	2	16	no	—
90	#385	—	2	8	no	—
91	#385	—	2	32	no	—
92	#385	—	4	32	no	—
93	#384	—	2	16	no	—
94	#380	—	2	4	no	—
95	#380	—	2	8	no	—
96	#379	—	2	8	no	—
97	#379	Q₈	1	16	yes	complemented
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
106	C₂⁵	—	2	4	no	—
107	C₂⁵	—	2	8	no	—
108	C₂⁵	—	2	8	no	—
109	C₂⁵	—	2	4	no	—
110	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂⁵	C₂×Q₈	1	8	yes	—
112	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	—
191	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	#95	—	2	32	no	—
197	#95	—	2	16	no	—
198	#95	—	4	32	no	—
199	C₂⁴	—	2	32	no	—
200	C₂⁴	—	2	32	no	—
201	C₂⁴	—	2	64	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	16	no	—
204	C₂⁴	—	2	16	no	—
205	C₂⁴	—	2	8	no	—
206	C₂⁴	—	2	32	no	—
207	C₂⁴	—	2	64	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	2	4	no	—
210	C₂⁴	—	2	4	no	—
211	C₂⁴	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
215	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
218	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
219	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
220	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
221	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
222	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
223	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	256	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	256	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
269	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
270	C₂²×C₄	#123	1	32	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄²	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	2	32	no	—
296	C₂³	—	2	32	no	—
297	C₂³	—	2	64	no	—
298	C₂³	—	2	256	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	16	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	32	no	—
308	C₂³	—	2	16	no	—
309	C₂³	—	2	16	no	—
310	C₂³	—	2	16	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	16	no	—
313	C₂³	—	2	16	no	—
314	C₂³	—	2	16	no	—
315	C₂³	—	2	16	no	—
316	C₂³	—	2	64	no	—
317	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂×#123	1	8	yes	—
319	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
320	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
321	C₂³	#535	1	8	yes	—
322	C₂³	#536	1	4	yes	—
323	C₂³	D₄×Q₈	1	16	yes	—
324	C₂³	#554	1	32	yes	—
325	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
329	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
331	Q₈	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	64	no	—
333	C₂×C₄	—	2	32	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	2	32	no	—
340	C₂×C₄	—	2	64	no	—
341	C₂×C₄	—	2	16	no	—
342	C₂×C₄	—	2	16	no	—
343	C₂×C₄	—	2	32	no	—
344	C₂×C₄	—	2	32	no	—
345	C₂×C₄	—	4	64	no	—
346	C₂×C₄	—	4	128	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	16	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	16	no	—
351	C₂×C₄	—	4	16	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	16	no	—
362	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
366	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
367	C₂²	—	2	128	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	8	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	8	no	—
374	C₂²	—	2	8	no	—
375	C₂²	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	2	32	no	—
377	C₂²	—	2	64	no	—
378	C₂²	—	2	8	no	—
379	C₂²	—	2	8	no	—
380	C₂²	#2434	1	8	yes	—
381	C₂²	#2502	1	16	yes	complemented
382	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂²×#123	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
385	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	4	yes	—
389	C₂²	C₂×#554	1	8	yes	—
390	C₂²	#3484	1	4	yes	—
391	C₂²	#3492	1	8	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	8	no	—
394	C₄	—	4	16	no	—
395	C₄	—	4	16	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	#2849	1	8	yes	—
400	C₂	—	2	8	no	—
401	C₂	—	2	16	no	—
402	C₂	C₂×#2434	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#2502	1	2	yes	—
404	C₂	#35222	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#35227	1	2	yes	—
406	C₂	#36546	1	8	yes	—
407	C₂	C₂×#2849	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2502	C₂	semidirect
4. #15092	C₂	semidirect
5. #14786	C₂	semidirect
7. #14139	C₂	semidirect
8. #13924	C₂	semidirect
9. #13880	C₂	semidirect
23. C₂×#398	C₂²	semidirect
24. C₂×#391	C₂²	semidirect
29. C₂×#384	C₂²	semidirect
36. #1445	C₂²	semidirect
37. #1444	C₂²	semidirect
38. #1441	C₂²	semidirect
39. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
97. #379	Q₈	semidirect
381. C₂²	#2502	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#2848	2
C₂×#2502	2
#15092	2
#14786	2
#14693	2
#14139	2
#13924	2
#13880	2
C₄×#379	2