Subgroups — #61317

Order 256.

1032 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3373	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#3367	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#3359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3141	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3079	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#3036	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	3	yes	—
14	#559	C₂²	1	3	yes	complemented
15	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#556	C₂²	1	3	yes	complemented
17	#553	—	2	3	no	—
18	#550	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
20	D₄×Q₈	—	2	3	no	—
21	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	D₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
23	#548	—	2	1	no	—
24	#532	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
26	#529	—	2	3	no	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
28	C₄×#41	—	2	1	no	—
29	C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
32	#489	C₂²	1	12	yes	complemented
33	#487	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#486	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#477	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#476	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#475	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#474	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#463	C₂²	1	12	yes	—
40	#461	C₂²	1	6	yes	—
41	#459	C₂²	1	6	yes	—
42	#446	C₂²	1	6	yes	complemented
43	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#442	C₂²	1	6	yes	—
45	#440	C₂²	1	6	yes	—
46	C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
47	C₄×D₈	C₂²	1	6	yes	—
48	#428	C₂²	1	3	yes	—
49	#423	C₂²	1	3	yes	—
50	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#417	C₂²	1	6	yes	—
52	#417	C₂²	1	3	yes	—
53	C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
54	C₂×#41	—	2	1	no	—
55	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
57	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
59	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
60	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
63	AGL(1,ℤ/8)	—	2	12	no	—
64	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×D₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
69	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
70	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
71	C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
72	C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
73	#127	C₂³	1	3	yes	—
74	#126	—	2	6	no	—
75	#125	—	2	3	no	—
76	#124	—	2	3	no	—
77	#124	C₂³	1	6	yes	—
78	#123	—	2	6	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
83	#121	—	2	3	no	—
84	#121	—	2	3	no	—
85	#121	—	2	3	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
89	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
91	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
93	C₄×D₄	—	2	3	no	—
94	C₄×D₄	—	2	3	no	—
95	C₄×D₄	—	2	3	no	—
96	C₄×D₄	—	2	3	no	—
97	C₄×D₄	—	2	3	no	—
98	C₄×D₄	—	2	3	no	—
99	C₄×D₄	—	2	3	no	—
100	C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
101	C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
102	C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
103	C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
104	#117	—	2	3	no	—
105	#117	—	2	3	no	—
106	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
113	#107	C₂³	1	6	yes	—
114	#106	C₂³	1	6	yes	—
115	C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
116	C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
117	#103	C₂³	1	6	yes	—
118	#103	C₂³	1	12	yes	—
119	#102	C₂³	1	6	yes	—
120	#102	C₂³	1	12	yes	—
121	#102	C₂³	1	2	yes	—
122	#102	C₂³	1	2	yes	—
123	#97	C₂³	1	6	yes	—
124	C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
125	C₂⁴	—	2	1	no	—
126	#41	—	2	6	no	—
127	#41	—	2	6	no	—
128	#41	—	4	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
135	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
136	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂×D₄	—	2	3	no	—
139	C₂×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂×D₄	—	2	3	no	—
141	C₂×D₄	—	2	3	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	#41	1	4	yes	complemented
144	C₂×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	SD₁₆	—	2	12	no	—
157	D₈	—	2	12	no	—
158	M₁₆	—	2	6	no	—
159	M₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
162	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
171	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
172	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
173	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	2	3	no	—
184	C₄²	—	2	3	no	—
185	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
186	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
187	C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
188	C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	3	no	—
192	C₂³	—	4	2	no	—
193	C₂³	—	4	2	no	—
194	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	2	6	no	—
196	Q₈	—	2	3	no	—
197	Q₈	—	2	3	no	—
198	Q₈	—	4	12	no	—
199	Q₈	—	4	12	no	—
200	Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
201	D₄	—	2	4	no	—
202	D₄	—	2	3	no	—
203	D₄	—	2	2	no	—
204	D₄	—	2	3	no	—
205	D₄	—	4	6	no	—
206	D₄	—	4	6	no	—
207	D₄	—	8	3	no	—
208	D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
209	C₂×C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	3	no	—
213	C₂×C₄	—	2	6	no	—
214	C₂×C₄	—	4	3	no	—
215	C₂×C₄	—	4	12	no	—
216	C₂×C₄	—	4	6	no	—
217	C₂×C₄	—	4	6	no	—
218	C₂×C₄	—	4	12	no	—
219	C₂×C₄	—	4	6	no	—
220	C₂×C₄	—	8	3	no	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	C₈	—	2	6	no	—
230	C₈	—	2	2	no	—
231	C₂²	—	2	1	no	—
232	C₂²	—	2	1	no	—
233	C₂²	—	2	4	no	—
234	C₂²	—	4	8	no	—
235	C₂²	—	4	2	no	—
236	C₂²	—	4	2	no	—
237	C₂²	—	4	3	no	—
238	C₂²	—	4	3	no	—
239	C₂²	—	4	3	no	—
240	C₂²	#548	1	2	yes	—
241	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄	—	2	3	no	—
243	C₄	—	2	3	no	—
244	C₄	—	2	3	no	—
245	C₄	—	4	1	no	—
246	C₄	—	4	3	no	—
247	C₄	—	4	1	no	—
248	C₄	—	4	6	no	—
249	C₄	#548	1	2	yes	—
250	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
251	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂	—	2	2	no	—
254	C₂	—	4	4	no	—
255	C₂	—	8	3	no	—
256	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
257	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3480	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #3373	C₂	semidirect
4. #3367	C₂	semidirect
5. #3359	C₂	semidirect
6. #3358	C₂	semidirect
7. #3141	C₂	semidirect
8. #3079	C₂	semidirect
9. #3036	C₂	semidirect
10. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
11. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
14. #559	C₂²	semidirect
15. #557	C₂²	semidirect
16. #556	C₂²	semidirect
18. #550	C₂²	semidirect
32. #489	C₂²	semidirect
33. #487	C₂²	semidirect
34. #486	C₂²	semidirect
35. #477	C₂²	semidirect
36. #476	C₂²	semidirect
37. #475	C₂²	semidirect
38. #474	C₂²	semidirect
42. #446	C₂²	semidirect
43. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
143. C₂×D₄	#41	semidirect
200. Q₈	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3480	2
C₂×D₄×Q₈	2
#3373	2
#3367	2
#3359	2
#3358	2
#3141	2
#3079	2
#3036	2
Q₈×M₁₆	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2