Subgroups — #61320

Order 256.

902 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3377	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3374	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3371	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3080	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3079	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3037	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₄×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₄×#137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
20	#559	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#559	C₂²	1	2	yes	—
22	#557	—	2	1	no	—
23	#557	—	2	1	no	—
24	#557	—	2	2	no	—
25	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#557	C₂²	1	2	yes	—
27	#557	C₂²	1	2	yes	—
28	#557	C₂²	1	4	yes	—
29	#556	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#556	C₂²	1	2	yes	—
31	#553	—	2	1	no	—
32	#553	—	2	2	no	—
33	#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#548	—	2	1	no	—
35	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#529	—	2	2	no	—
40	#529	—	2	1	no	—
41	C₂×#125	—	2	2	no	—
42	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	—	2	1	no	—
44	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#491	C₂²	1	4	yes	—
51	#490	C₂²	1	4	yes	—
52	#489	C₂²	1	4	yes	—
53	#488	C₂²	1	4	yes	—
54	#488	C₂²	1	4	yes	—
55	#487	C₂²	1	2	yes	—
56	#486	C₂²	1	2	yes	—
57	#479	C₂²	1	4	yes	—
58	#479	C₂²	1	4	yes	—
59	#478	C₂²	1	4	yes	—
60	#478	C₂²	1	4	yes	—
61	#477	C₂²	1	2	yes	—
62	#476	C₂²	1	2	yes	—
63	#475	C₂²	1	2	yes	—
64	#474	C₂²	1	2	yes	—
65	#464	C₂²	1	4	yes	—
66	#464	C₂²	1	4	yes	—
67	#464	C₂²	1	4	yes	—
68	#462	C₂²	1	2	yes	—
69	#462	C₂²	1	4	yes	—
70	#460	C₂²	1	2	yes	—
71	#460	C₂²	1	4	yes	—
72	#446	C₂²	1	2	yes	—
73	#446	C₂²	1	4	yes	—
74	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
75	#441	C₂²	1	4	yes	—
76	#441	C₂²	1	2	yes	—
77	#440	C₂²	1	4	yes	—
78	#440	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
83	#428	C₂²	1	2	yes	—
84	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#423	C₂²	1	2	yes	—
87	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#417	C₂²	1	2	yes	—
89	#417	C₂²	1	2	yes	—
90	#417	C₂²	1	2	yes	—
91	#417	C₂²	1	2	yes	—
92	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
94	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#137	—	2	4	no	—
102	#137	—	2	8	no	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#127	C₂³	1	2	yes	—
121	#126	—	2	2	no	—
122	#126	—	2	2	no	—
123	#126	—	2	2	no	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	—	2	4	no	—
126	#125	—	2	4	no	—
127	#125	—	2	4	no	—
128	#125	—	2	1	no	—
129	#125	—	2	2	no	—
130	#125	—	2	2	no	—
131	#125	—	2	2	no	—
132	#125	C₂³	1	4	yes	—
133	#125	C₂³	1	4	yes	—
134	#124	—	2	1	no	—
135	#124	—	2	2	no	—
136	#124	C₂³	1	2	yes	—
137	#124	C₂³	1	2	yes	—
138	#124	C₂³	1	2	yes	—
139	#123	—	2	2	no	—
140	#123	—	2	2	no	—
141	#123	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	1	no	—
145	#121	—	2	2	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	—	2	1	no	—
148	#121	—	2	1	no	—
149	#121	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
160	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
163	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	2	no	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	1	no	—
177	C₄×D₄	—	2	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	1	no	—
180	C₄×D₄	—	2	2	no	—
181	C₄×D₄	—	2	1	no	—
182	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
185	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	1	no	—
190	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
206	#107	C₂³	1	4	yes	—
207	#107	C₂³	1	2	yes	—
208	#106	C₂³	1	4	yes	—
209	#106	C₂³	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
214	#103	C₂³	1	4	yes	—
215	#103	C₂³	1	2	yes	—
216	#103	C₂³	1	4	yes	—
217	#103	C₂³	1	4	yes	—
218	#103	C₂³	1	4	yes	—
219	#103	C₂³	1	2	yes	—
220	#103	C₂³	1	2	yes	—
221	#102	C₂³	1	4	yes	—
222	#102	C₂³	1	2	yes	—
223	#102	C₂³	1	4	yes	—
224	#102	C₂³	1	4	yes	—
225	#102	C₂³	1	4	yes	—
226	#97	C₂³	1	2	yes	—
227	#97	C₂³	1	4	yes	—
228	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
229	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
230	#41	—	2	2	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	2	no	—
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
245	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	1	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	1	no	—
254	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
270	Q₁₆	—	2	8	no	—
271	Q₁₆	—	2	4	no	—
272	SD₁₆	—	2	4	no	—
273	SD₁₆	—	2	8	no	—
274	M₁₆	—	2	2	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
308	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
310	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
311	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	1	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	2	1	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	2	4	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
334	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
336	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	2	1	no	—
341	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	2	4	no	—
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	2	2	no	—
345	Q₈	—	2	2	no	—
346	Q₈	—	2	2	no	—
347	Q₈	—	2	1	no	—
348	Q₈	—	2	2	no	—
349	Q₈	—	2	1	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	4	4	no	—
353	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
354	D₄	—	2	2	no	—
355	D₄	—	2	1	no	—
356	D₄	—	2	2	no	—
357	D₄	—	2	1	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	2	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	4	2	no	—
362	D₄	—	8	2	no	—
363	D₄	—	8	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	1	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	1	no	—
384	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	—	2	4	no	—
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	1	no	—
400	C₂²	—	2	1	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	1	no	—
403	C₂²	—	4	2	no	—
404	C₂²	—	4	1	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	1	no	—
407	C₂²	#548	1	2	yes	—
408	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	1	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	2	2	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	4	1	no	—
419	C₄	—	4	2	no	—
420	C₄	—	4	1	no	—
421	C₄	—	4	1	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	#548	1	2	yes	—
424	C₄	#575	1	2	yes	—
425	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
426	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
427	C₂	—	2	2	no	—
428	C₂	—	8	2	no	—
429	C₂	—	8	1	no	—
430	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
431	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3480	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#557	C₂	semidirect
3. #3377	C₂	semidirect
4. #3374	C₂	semidirect
5. #3371	C₂	semidirect
6. #3368	C₂	semidirect
7. #3365	C₂	semidirect
8. #3364	C₂	semidirect
9. #3142	C₂	semidirect
10. #3141	C₂	semidirect
11. #3080	C₂	semidirect
12. #3079	C₂	semidirect
13. #3037	C₂	semidirect
14. #3037	C₂	semidirect
15. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
16. C₄×#137	C₂	semidirect
17. C₄×#137	C₂	semidirect
244. C₂×Q₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3480	2
C₂×#557	2
#3377	2
#3374	2
#3371	2
#3368	2
#3365	2
#3364	2
#3142	2
#3141	2
#3080	2
#3079	2
#3037	2
Q₈×M₁₆	2
C₄×#137	2