Subgroups — #61322

Order 256.

891 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3374	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#3372	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#3363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3139	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3078	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#3039	C₂	1	3	yes	maximal
10	Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#137	C₂	1	3	yes	maximal
12	C₂×#137	C₂²	1	3	yes	—
13	Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#557	—	2	1	no	—
15	#557	—	2	3	no	—
16	#557	C₂²	1	2	yes	—
17	#557	C₂²	1	6	yes	—
18	#557	C₂²	1	3	yes	—
19	#554	—	2	3	no	—
20	#554	C₂²	1	3	yes	—
21	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
22	D₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#533	—	2	3	no	—
24	#533	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂×#125	—	2	3	no	—
27	C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
29	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#491	C₂²	1	12	yes	—
33	#487	C₂²	1	6	yes	—
34	#487	C₂²	1	6	yes	—
35	#479	C₂²	1	12	yes	—
36	#477	C₂²	1	6	yes	—
37	#475	C₂²	1	6	yes	—
38	#462	C₂²	1	6	yes	—
39	#462	C₂²	1	6	yes	—
40	#461	C₂²	1	6	yes	—
41	#461	C₂²	1	6	yes	—
42	#446	C₂²	1	6	yes	—
43	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
44	#441	C₂²	1	6	yes	—
45	#440	C₂²	1	6	yes	—
46	C₄×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
47	C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
48	#428	C₂²	1	3	yes	—
49	#423	C₂²	1	3	yes	—
50	#419	C₂²	1	6	yes	—
51	#419	C₂²	1	3	yes	—
52	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
54	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
58	#137	—	2	12	no	—
59	C₂×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
65	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
66	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
67	C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
68	C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
71	#125	—	2	6	no	—
72	#125	—	2	12	no	—
73	#125	—	2	6	no	—
74	#125	—	2	6	no	—
75	#125	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
81	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
82	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
83	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
85	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
89	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
91	C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
92	C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
93	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
94	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
95	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
97	C₄×D₄	—	2	3	no	—
98	C₄×D₄	—	2	3	no	—
99	C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
100	C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
101	#117	—	2	3	no	—
102	#117	C₂³	1	3	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
112	#107	C₂³	1	6	yes	—
113	#106	C₂³	1	6	yes	—
114	C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
115	C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
116	#103	C₂³	1	2	yes	—
117	#103	C₂³	1	6	yes	—
118	#103	C₂³	1	6	yes	—
119	#103	C₂³	1	12	yes	—
120	#103	C₂³	1	12	yes	—
121	#102	C₂³	1	2	yes	—
122	#97	C₂³	1	6	yes	—
123	C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	#41	1	4	yes	—
126	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
134	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
136	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	Q₁₆	—	2	12	no	—
148	SD₁₆	—	2	12	no	—
149	M₁₆	—	2	6	no	—
150	M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
153	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
167	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
168	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
169	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
171	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
175	C₄²	—	2	3	no	—
176	C₄²	—	2	3	no	—
177	C₄²	—	2	3	no	—
178	C₄²	—	2	6	no	—
179	C₄²	—	2	6	no	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
181	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
182	C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	Q₈	—	2	6	no	—
187	Q₈	—	2	1	no	—
188	Q₈	—	2	6	no	—
189	Q₈	—	2	6	no	—
190	Q₈	—	4	6	no	—
191	Q₈	—	4	6	no	—
192	Q₈	—	8	3	no	—
193	Q₈	#137	1	4	yes	complemented
194	Q₈	C₂×#41	1	2	yes	—
195	D₄	—	2	4	no	—
196	D₄	—	2	1	no	—
197	D₄	C₂×#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄	—	4	3	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	6	no	—
208	C₂×C₄	—	4	6	no	—
209	C₂×C₄	—	8	3	no	—
210	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
211	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	C₈	—	2	6	no	—
219	C₈	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	2	1	no	—
221	C₂²	—	2	1	no	—
222	C₂²	—	2	2	no	—
223	C₂²	—	4	1	no	—
224	C₂²	—	4	1	no	—
225	C₂²	#548	1	2	yes	—
226	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄	—	2	3	no	—
228	C₄	—	2	3	no	—
229	C₄	—	2	2	no	—
230	C₄	—	2	3	no	—
231	C₄	—	4	2	no	—
232	C₄	—	4	3	no	—
233	C₄	—	4	6	no	—
234	C₄	—	4	3	no	—
235	C₄	#548	1	2	yes	—
236	C₄	C₂×#137	1	6	yes	—
237	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₂	—	2	2	no	—
240	C₂	—	4	2	no	—
241	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
242	C₂	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#557	C₂	semidirect
3. #3374	C₂	semidirect
4. #3372	C₂	semidirect
5. #3363	C₂	semidirect
6. #3359	C₂	semidirect
7. #3139	C₂	semidirect
8. #3078	C₂	semidirect
10. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
193. Q₈	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#41	2
C₂×#557	2
#3374	2
#3372	2
#3363	2
#3359	2
#3139	2
#3078	2
#3039	2
Q₈×M₁₆	2
C₄×#137	2