Subgroups — #61330

Order 256.

888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3374	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3372	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3082	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3079	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3046	C₂	1	2	yes	maximal
16	#3039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#2947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
19	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
20	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
23	#557	C₂²	1	2	yes	—
24	#557	C₂²	1	2	yes	—
25	#557	C₂²	1	2	yes	—
26	#556	C₂²	1	2	yes	—
27	#556	C₂²	1	2	yes	—
28	#554	—	2	2	no	—
29	#554	C₂²	1	2	yes	—
30	#552	—	2	2	no	—
31	#552	—	2	2	no	—
32	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
33	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	#544	—	2	2	no	—
35	#544	C₂²	1	2	yes	—
36	#541	—	2	2	no	—
37	#536	C₂²	1	2	yes	—
38	#533	—	2	1	no	—
39	#533	—	2	1	no	—
40	#533	—	2	1	no	—
41	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#520	C₂²	1	2	yes	—
46	#519	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#491	C₂²	1	4	yes	—
50	#489	C₂²	1	4	yes	—
51	#488	C₂²	1	4	yes	—
52	#487	C₂²	1	4	yes	—
53	#487	C₂²	1	2	yes	—
54	#487	C₂²	1	2	yes	—
55	#487	C₂²	1	2	yes	—
56	#487	C₂²	1	2	yes	—
57	#479	C₂²	1	4	yes	—
58	#479	C₂²	1	4	yes	—
59	#477	C₂²	1	2	yes	—
60	#477	C₂²	1	4	yes	—
61	#476	C₂²	1	2	yes	—
62	#475	C₂²	1	2	yes	—
63	#475	C₂²	1	4	yes	—
64	#474	C₂²	1	2	yes	—
65	#464	C₂²	1	4	yes	—
66	#463	C₂²	1	4	yes	—
67	#462	C₂²	1	2	yes	—
68	#462	C₂²	1	4	yes	—
69	#462	C₂²	1	2	yes	—
70	#461	C₂²	1	2	yes	—
71	#461	C₂²	1	4	yes	—
72	#461	C₂²	1	2	yes	—
73	#446	C₂²	1	2	yes	—
74	#446	C₂²	1	2	yes	—
75	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
76	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
77	#441	C₂²	1	4	yes	—
78	#440	C₂²	1	4	yes	—
79	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
81	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
84	C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#428	C₂²	1	2	yes	—
90	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#424	C₂²	1	2	yes	—
92	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	#419	C₂²	1	2	yes	—
94	#417	C₂²	1	2	yes	—
95	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
96	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
98	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
99	#405	C₂²	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
106	#137	—	2	8	no	—
107	#135	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
130	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	#126	—	2	4	no	—
134	#126	—	2	4	no	—
135	#125	—	2	2	no	—
136	#125	—	2	2	no	—
137	#125	—	2	2	no	—
138	#125	—	2	4	no	—
139	#125	—	2	4	no	—
140	#125	—	2	4	no	—
141	#125	D₄	1	2	yes	—
142	#125	C₂³	1	4	yes	—
143	#124	C₂³	1	4	yes	—
144	#123	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
155	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
170	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×D₄	—	2	1	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	—	2	4	no	—
176	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	1	no	—
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
188	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
189	#117	C₂³	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
201	#107	C₂³	1	4	yes	—
202	#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
203	#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
204	#106	C₂³	1	4	yes	—
205	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
209	#103	C₂³	1	4	yes	—
210	#103	C₂³	1	4	yes	—
211	#103	C₂³	1	4	yes	—
212	#103	C₂³	1	4	yes	—
213	#103	C₂³	1	1	yes	characteristic
214	#103	C₂³	1	1	yes	characteristic
215	#103	C₂³	1	1	yes	characteristic
216	#103	C₂³	1	1	yes	characteristic
217	#103	C₂³	1	4	yes	—
218	#103	C₂³	1	4	yes	—
219	#103	C₂³	1	4	yes	—
220	#102	C₂³	1	1	yes	characteristic
221	#102	C₂³	1	1	yes	characteristic
222	#102	C₂³	1	1	yes	characteristic
223	#102	C₂³	1	1	yes	characteristic
224	#102	C₂³	1	4	yes	—
225	#97	C₂³	1	4	yes	—
226	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
228	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
229	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
230	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
231	#41	—	2	2	no	—
232	#41	—	2	2	no	—
233	#41	—	2	2	no	—
234	#41	#41	1	4	yes	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
243	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
246	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	—	2	1	no	—
250	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
264	Q₁₆	—	2	2	no	—
265	Q₁₆	—	2	8	no	—
266	SD₁₆	—	2	2	no	—
267	SD₁₆	—	2	2	no	—
268	SD₁₆	—	2	8	no	—
269	D₈	—	2	2	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
305	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
306	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
307	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
308	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	1	no	—
321	C₄²	—	2	1	no	—
322	C₄²	—	2	1	no	—
323	C₄²	—	2	1	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
332	C₂³	—	2	1	no	—
333	C₂³	—	2	1	no	—
334	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	2	1	no	—
338	Q₈	—	2	4	no	—
339	Q₈	—	2	1	no	—
340	Q₈	—	2	4	no	—
341	Q₈	—	2	1	no	—
342	Q₈	—	4	4	no	—
343	Q₈	—	4	4	no	—
344	Q₈	—	8	2	no	—
345	Q₈	—	8	4	no	—
346	Q₈	C₂×#41	1	2	yes	—
347	D₄	—	2	4	no	—
348	D₄	—	2	1	no	—
349	D₄	—	2	1	no	—
350	D₄	—	2	1	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	C₂×#41	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	1	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
382	C₈	—	2	1	no	—
383	C₈	—	2	1	no	—
384	C₈	—	2	4	no	—
385	C₈	—	2	1	no	—
386	C₈	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	1	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	1	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	#548	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	4	1	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	1	no	—
406	C₄	—	4	4	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	#548	1	2	yes	—
410	C₄	#577	1	2	yes	—
411	C₄	#578	1	2	yes	—
412	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
413	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
414	C₂	—	2	2	no	—
415	C₂	—	4	2	no	—
416	C₂	—	8	1	no	—
417	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
419	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3509	C₂	semidirect
2. #3503	C₂	semidirect
3. #3374	C₂	semidirect
4. #3372	C₂	semidirect
5. #3369	C₂	semidirect
6. #3367	C₂	semidirect
7. #3364	C₂	semidirect
8. #3363	C₂	semidirect
9. #3360	C₂	semidirect
10. #3359	C₂	semidirect
11. #3137	C₂	semidirect
12. C₂×#487	C₂	semidirect
13. #3082	C₂	semidirect
14. #3079	C₂	semidirect
16. #3039	C₂	semidirect
17. #2960	C₂	semidirect
18. #2947	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3509	2
#3503	2
#3374	2
#3372	2
#3369	2
#3367	2
#3364	2
#3363	2
#3360	2
#3359	2
#3137	2
C₂×#487	2
#3082	2
#3079	2
#3046	2
#3039	2
#2960	2
#2947	2
C₄×#135	2