Subgroups — #61332

Order 256.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3376	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3373	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3370	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3366	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3084	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3077	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3036	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#559	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#555	—	2	1	no	—
21	#554	—	2	1	no	—
22	#554	—	2	2	no	—
23	#554	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#554	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#553	—	2	2	no	—
26	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
27	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#547	—	2	1	no	—
30	#544	C₂²	1	2	yes	—
31	#543	—	2	2	no	—
32	#538	—	2	2	no	—
33	#535	C₂²	1	2	yes	—
34	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#525	—	2	2	no	—
38	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	#520	C₂²	1	2	yes	—
40	#518	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#463	C₂²	1	4	yes	—
59	#463	C₂²	1	4	yes	—
60	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#459	C₂²	1	4	yes	—
63	#459	C₂²	1	4	yes	—
64	#459	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#442	C₂²	1	4	yes	—
68	#442	C₂²	1	4	yes	—
69	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#428	C₂²	1	2	yes	—
74	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#424	C₂²	1	2	yes	—
76	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#418	C₂²	1	2	yes	—
78	#417	C₂²	1	2	yes	—
79	#416	C₂²	1	2	yes	—
80	#416	C₂²	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
92	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
93	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×D₈	—	2	4	no	—
95	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
107	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#127	C₂³	1	4	yes	—
109	#126	—	2	4	no	—
110	#125	—	2	2	no	—
111	#125	D₄	1	2	yes	—
112	#125	C₂³	1	2	yes	—
113	#125	C₂³	1	4	yes	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#124	C₂³	1	2	yes	—
116	#124	C₂³	1	4	yes	—
117	#123	—	2	4	no	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
131	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
132	#121	—	2	1	no	—
133	#121	—	2	1	no	—
134	#121	—	2	2	no	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	2	no	—
137	#121	—	2	4	no	—
138	#120	—	2	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	1	no	—
149	C₄×D₄	—	2	1	no	—
150	C₄×D₄	—	2	1	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	—	2	1	no	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
159	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
160	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	C₂³	1	2	yes	—
164	#117	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	#107	C₂³	1	4	yes	—
175	#106	C₂³	1	4	yes	—
176	#106	C₂³	1	4	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	2	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	4	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	2	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	#102	C₂³	1	2	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	#102	C₂³	1	4	yes	—
194	#102	C₂³	1	4	yes	—
195	#97	C₂³	1	2	yes	—
196	#97	C₂³	1	2	yes	—
197	#97	C₂³	1	4	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
199	C₂⁴	—	2	1	no	—
200	C₂⁴	—	2	1	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	8	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	1	no	—
213	C₂×D₄	—	2	1	no	—
214	C₂×D₄	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	#41	1	4	yes	complemented
222	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	SD₁₆	—	2	8	no	—
241	D₈	—	2	8	no	—
242	D₈	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
289	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	8	1	no	—
297	C₂³	—	8	1	no	—
298	C₂³	—	8	1	no	—
299	C₂³	—	8	1	no	—
300	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	2	2	no	—
302	Q₈	—	2	2	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	Q₈	—	4	2	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	8	1	no	—
307	Q₈	—	8	4	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	2	2	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	—	2	2	no	—
312	D₄	—	2	2	no	—
313	D₄	—	2	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	8	1	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	#548	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	#548	1	2	yes	—
378	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
379	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	4	4	no	—
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	—	8	2	no	—
384	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. #3501	C₂	semidirect
3. #3376	C₂	semidirect
4. #3373	C₂	semidirect
5. #3370	C₂	semidirect
6. #3366	C₂	semidirect
7. #3136	C₂	semidirect
8. #3135	C₂	semidirect
9. #3084	C₂	semidirect
10. #3077	C₂	semidirect
11. #3041	C₂	semidirect
12. #3036	C₂	semidirect
13. #2961	C₂	semidirect
14. #2946	C₂	semidirect
15. C₂×#442	C₂	semidirect
18. #559	C₂²	semidirect
19. #556	C₂²	semidirect
23. #554	C₂²	semidirect
24. #554	C₂²	semidirect
26. #550	C₂²	semidirect
28. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
43. #491	C₂²	semidirect
44. #490	C₂²	semidirect
45. #490	C₂²	semidirect
46. #489	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #489	C₂²	semidirect
49. #488	C₂²	semidirect
50. #486	C₂²	semidirect
51. #479	C₂²	semidirect
52. #478	C₂²	semidirect
53. #478	C₂²	semidirect
54. #476	C₂²	semidirect
55. #476	C₂²	semidirect
56. #475	C₂²	semidirect
57. #474	C₂²	semidirect
60. #463	C₂²	semidirect
61. #461	C₂²	semidirect
64. #459	C₂²	semidirect
65. #446	C₂²	semidirect
66. #446	C₂²	semidirect
69. #442	C₂²	semidirect
70. #440	C₂²	semidirect
71. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
72. C₄×D₈	C₂²	semidirect
221. C₂×D₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
#3501	2
#3376	2
#3373	2
#3370	2
#3366	2
#3136	2
#3135	2
#3084	2
#3077	2
#3041	2
#3036	2
#2961	2
#2946	2
C₂×#442	2