Subgroups — #61340

Order 256.

896 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3376	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3372	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3372	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3082	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3042	C₂	1	2	yes	maximal
14	C₂×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#554	—	2	1	no	—
25	#554	—	2	2	no	—
26	#554	C₂²	1	2	yes	—
27	#554	C₂²	1	4	yes	—
28	#552	—	2	2	no	—
29	#552	—	2	2	no	—
30	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
31	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#544	C₂²	1	2	yes	—
33	#543	—	2	2	no	—
34	#541	—	2	2	no	—
35	#536	C₂²	1	2	yes	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	1	no	—
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	#519	C₂²	1	2	yes	—
43	#518	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#491	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#491	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#487	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#479	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#478	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#477	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#476	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
60	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#463	C₂²	1	4	yes	—
64	#463	C₂²	1	4	yes	—
65	#461	C₂²	1	2	yes	—
66	#461	C₂²	1	4	yes	—
67	#461	C₂²	1	2	yes	—
68	#461	C₂²	1	4	yes	—
69	#461	C₂²	1	4	yes	—
70	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#442	C₂²	1	2	yes	—
74	#440	C₂²	1	4	yes	—
75	#440	C₂²	1	2	yes	—
76	#440	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
79	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
81	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#427	C₂²	1	2	yes	—
83	#424	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#419	C₂²	1	2	yes	—
86	#419	C₂²	1	2	yes	—
87	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#416	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#125	—	2	2	no	—
121	#125	—	2	2	no	—
122	#125	—	2	4	no	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	—	2	2	no	—
125	#125	D₄	1	2	yes	—
126	#125	C₂³	1	2	yes	—
127	#125	C₂³	1	4	yes	—
128	#124	C₂³	1	4	yes	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
145	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
156	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
169	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	1	no	—
174	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	#117	C₂³	1	2	yes	—
176	#117	C₂³	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
186	#107	C₂³	1	2	yes	—
187	#107	C₂³	1	2	yes	—
188	#107	C₂³	1	2	yes	—
189	#106	C₂³	1	2	yes	—
190	#106	C₂³	1	2	yes	—
191	#106	C₂³	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
196	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	#103	C₂³	1	4	yes	—
198	#103	C₂³	1	4	yes	—
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	2	yes	—
201	#103	C₂³	1	2	yes	—
202	#103	C₂³	1	4	yes	—
203	#103	C₂³	1	4	yes	—
204	#103	C₂³	1	4	yes	—
205	#103	C₂³	1	4	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	2	yes	—
208	#102	C₂³	1	2	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#102	C₂³	1	2	yes	—
211	#97	C₂³	1	2	yes	—
212	#97	C₂³	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
215	C₂⁴	—	2	1	no	—
216	#41	—	2	2	no	—
217	#41	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
233	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	SD₁₆	—	2	8	no	—
249	SD₁₆	—	2	8	no	—
250	SD₁₆	—	2	4	no	—
251	D₈	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	2	no	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
285	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
309	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	8	1	no	—
314	C₂³	—	8	1	no	—
315	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	4	no	—
317	Q₈	—	2	4	no	—
318	Q₈	—	2	1	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	2	1	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	8	1	no	—
325	Q₈	—	8	4	no	—
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	2	1	no	—
328	D₄	—	2	2	no	—
329	D₄	—	2	1	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	1	no	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	2	no	—
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	1	no	—
370	C₂²	—	4	1	no	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	#548	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	4	1	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	#548	1	2	yes	—
388	C₄	#577	1	2	yes	—
389	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
390	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
391	C₂	—	2	2	no	—
392	C₂	—	4	4	no	—
393	C₂	—	8	1	no	—
394	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3509	C₂	semidirect
2. #3501	C₂	semidirect
3. #3376	C₂	semidirect
4. #3372	C₂	semidirect
5. #3372	C₂	semidirect
6. #3367	C₂	semidirect
7. #3360	C₂	semidirect
8. #3359	C₂	semidirect
9. #3139	C₂	semidirect
10. #3137	C₂	semidirect
11. #3082	C₂	semidirect
12. #3076	C₂	semidirect
14. C₂×#461	C₂	semidirect
15. #2962	C₂	semidirect
16. #2949	C₂	semidirect
20. #557	C₂²	semidirect
21. #557	C₂²	semidirect
22. #556	C₂²	semidirect
23. #556	C₂²	semidirect
46. #491	C₂²	semidirect
47. #491	C₂²	semidirect
48. #489	C₂²	semidirect
49. #488	C₂²	semidirect
50. #487	C₂²	semidirect
51. #487	C₂²	semidirect
52. #487	C₂²	semidirect
53. #479	C₂²	semidirect
54. #479	C₂²	semidirect
55. #479	C₂²	semidirect
56. #478	C₂²	semidirect
57. #477	C₂²	semidirect
58. #477	C₂²	semidirect
59. #476	C₂²	semidirect
60. #475	C₂²	semidirect
61. #475	C₂²	semidirect
62. #474	C₂²	semidirect
70. #446	C₂²	semidirect
71. #446	C₂²	semidirect
72. C₈×Q₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3509	2
#3501	2
#3376	2
#3372	2
#3367	2
#3360	2
#3359	2
#3139	2
#3137	2
#3082	2
#3076	2
#3042	2
C₂×#461	2
#2962	2
#2949	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2