Subgroups — #61341

Order 256.

922 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3375	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3371	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3368	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3081	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#559	C₂²	1	2	yes	—
21	#559	C₂²	1	2	yes	—
22	Q₈²	—	2	1	no	—
23	Q₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#557	—	2	1	no	—
25	#557	—	2	2	no	—
26	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#557	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#550	C₂²	1	2	yes	—
29	#550	C₂²	1	2	yes	—
30	#546	—	2	2	no	—
31	#546	—	2	2	no	—
32	#544	—	2	2	no	—
33	#544	C₂²	1	2	yes	—
34	#540	—	2	2	no	—
35	#535	C₂²	1	2	yes	—
36	#533	—	2	2	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#532	—	2	1	no	—
40	#532	—	2	1	no	—
41	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#519	C₂²	1	2	yes	—
43	#518	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#490	C₂²	1	4	yes	—
47	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#486	C₂²	1	2	yes	—
51	#486	C₂²	1	2	yes	—
52	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#479	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#478	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#477	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#476	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#474	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#460	C₂²	1	2	yes	—
66	#460	C₂²	1	4	yes	—
67	#460	C₂²	1	2	yes	—
68	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#440	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
77	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
78	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
79	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
80	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
81	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#427	C₂²	1	2	yes	—
83	#424	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#418	C₂²	1	2	yes	—
87	#418	C₂²	1	2	yes	—
88	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#416	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
100	#137	—	2	4	no	—
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
119	#127	—	2	1	no	—
120	#127	—	2	1	no	—
121	#127	C₂³	1	2	yes	—
122	#127	C₂³	1	2	yes	—
123	#127	C₂³	1	4	yes	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	—	2	4	no	—
126	#125	—	2	4	no	—
127	#125	—	2	2	no	—
128	#125	D₄	1	2	yes	—
129	#125	C₂³	1	2	yes	—
130	#125	C₂³	1	4	yes	—
131	#124	—	2	2	no	—
132	#124	—	2	2	no	—
133	#124	C₂³	1	4	yes	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	#123	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
141	#121	—	2	2	no	—
142	#121	—	2	2	no	—
143	#121	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	2	no	—
145	#121	—	2	4	no	—
146	#121	—	2	4	no	—
147	#120	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
163	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	1	no	—
177	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#117	C₂³	1	2	yes	—
179	#117	C₂³	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
186	#107	C₂³	1	2	yes	—
187	#107	C₂³	1	2	yes	—
188	#107	C₂³	1	2	yes	—
189	#106	C₂³	1	2	yes	—
190	#106	C₂³	1	2	yes	—
191	#106	C₂³	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
196	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	#103	C₂³	1	2	yes	—
198	#103	C₂³	1	2	yes	—
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	2	yes	—
201	#103	C₂³	1	2	yes	—
202	#102	C₂³	1	4	yes	—
203	#102	C₂³	1	4	yes	—
204	#102	C₂³	1	2	yes	—
205	#102	C₂³	1	2	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	4	yes	—
208	#102	C₂³	1	4	yes	—
209	#102	C₂³	1	4	yes	—
210	#102	C₂³	1	4	yes	—
211	#97	C₂³	1	2	yes	—
212	#97	C₂³	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
215	C₂⁴	—	2	2	no	—
216	#41	—	2	2	no	—
217	#41	—	2	2	no	—
218	#41	—	8	4	no	—
219	#41	—	8	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	2	no	—
241	C₂×D₄	—	8	2	no	—
242	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
243	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	2	4	no	—
255	SD₁₆	—	2	8	no	—
256	SD₁₆	—	2	8	no	—
257	SD₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
290	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
311	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	2	2	no	—
321	Q₈	—	2	1	no	—
322	Q₈	—	2	1	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	Q₈	—	8	1	no	—
326	Q₈	—	8	4	no	—
327	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
328	D₄	—	2	4	no	—
329	D₄	—	2	1	no	—
330	D₄	—	2	4	no	—
331	D₄	—	2	1	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	4	2	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	1	no	—
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	4	1	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	16	4	no	—
379	C₂²	#548	1	2	yes	—
380	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	2	4	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	1	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	1	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	#548	1	2	yes	—
394	C₄	#577	1	2	yes	—
395	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
396	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	8	1	no	—
399	C₂	—	8	4	no	—
400	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3508	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3502	C₂	semidirect
3. #3375	C₂	semidirect
4. #3371	C₂	semidirect
5. #3368	C₂	semidirect
6. #3368	C₂	semidirect
7. #3365	C₂	semidirect
8. #3362	C₂	semidirect
9. #3138	C₂	semidirect
10. #3136	C₂	semidirect
11. #3081	C₂	semidirect
12. #3076	C₂	semidirect
13. #3043	C₂	semidirect
14. C₂×#460	C₂	semidirect
15. #2962	C₂	semidirect
16. #2949	C₂	semidirect
17. C₄×#137	C₂	semidirect
23. Q₈²	C₂²	semidirect
26. #557	C₂²	semidirect
27. #557	C₂²	semidirect
47. #490	C₂²	semidirect
48. #489	C₂²	semidirect
49. #488	C₂²	semidirect
52. #486	C₂²	semidirect
53. #479	C₂²	semidirect
54. #478	C₂²	semidirect
55. #478	C₂²	semidirect
56. #478	C₂²	semidirect
57. #477	C₂²	semidirect
58. #476	C₂²	semidirect
59. #476	C₂²	semidirect
60. #475	C₂²	semidirect
61. #474	C₂²	semidirect
62. #474	C₂²	semidirect
63. #464	C₂²	semidirect
64. #464	C₂²	semidirect
68. #460	C₂²	semidirect
69. #460	C₂²	semidirect
70. #446	C₂²	semidirect
71. #446	C₂²	semidirect
72. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
73. #441	C₂²	semidirect
74. #440	C₂²	semidirect
75. #440	C₂²	semidirect
76. #440	C₂²	semidirect
77. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
78. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
79. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
80. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
227. C₂×Q₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3508	2
#3502	2
#3375	2
#3371	2
#3368	2
#3365	2
#3362	2
#3138	2
#3136	2
#3081	2
#3076	2
#3043	2
C₂×#460	2
#2962	2
#2949	2
C₄×#137	2