Subgroups — #61345

Order 256.

923 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3375	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3370	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3083	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
20	#559	C₂²	1	4	yes	—
21	Q₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#556	C₂²	1	2	yes	—
24	#555	—	2	1	no	—
25	#554	—	2	2	no	—
26	#554	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#553	—	2	2	no	—
28	#550	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
30	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#547	—	2	1	no	—
32	#544	—	2	2	no	—
33	#544	C₂²	1	2	yes	—
34	#538	—	2	2	no	—
35	#535	C₂²	1	2	yes	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#525	—	2	2	no	—
42	#520	C₂²	1	2	yes	—
43	#520	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#490	C₂²	1	4	yes	—
47	#489	C₂²	1	4	yes	—
48	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#488	C₂²	1	4	yes	—
50	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#486	C₂²	1	4	yes	—
52	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#474	C₂²	1	2	yes	—
57	#474	C₂²	1	2	yes	—
58	#474	C₂²	1	4	yes	—
59	#474	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#464	C₂²	1	4	yes	—
61	#464	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#463	C₂²	1	4	yes	—
63	#463	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
65	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	#460	C₂²	1	4	yes	—
67	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#459	C₂²	1	4	yes	—
69	#459	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
70	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#442	C₂²	1	2	yes	—
74	#440	C₂²	1	2	yes	—
75	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
77	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
78	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
81	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
83	#424	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#417	C₂²	1	2	yes	—
87	#417	C₂²	1	2	yes	—
88	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#416	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
100	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
101	#135	—	2	8	no	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
121	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
123	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#127	C₂³	1	4	yes	—
125	#126	—	2	4	no	—
126	#125	—	2	2	no	—
127	#125	—	2	4	no	—
128	#125	D₄	1	2	yes	—
129	#125	C₂³	1	4	yes	—
130	#124	—	2	4	no	—
131	#124	C₂³	1	2	yes	—
132	#124	C₂³	1	4	yes	—
133	#123	—	2	4	no	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
142	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
143	#121	—	2	1	no	—
144	#121	—	2	1	no	—
145	#121	—	2	2	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#120	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
156	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
172	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	1	no	—
177	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#117	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
188	#107	C₂³	1	4	yes	—
189	#107	C₂³	1	4	yes	—
190	#107	C₂³	1	2	yes	—
191	#106	C₂³	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
196	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	#103	C₂³	1	2	yes	—
198	#103	C₂³	1	2	yes	—
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	4	yes	—
201	#103	C₂³	1	4	yes	—
202	#102	C₂³	1	4	yes	—
203	#102	C₂³	1	4	yes	—
204	#102	C₂³	1	2	yes	—
205	#102	C₂³	1	2	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	4	yes	—
208	#102	C₂³	1	4	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#102	C₂³	1	2	yes	—
211	#97	C₂³	1	2	yes	—
212	#97	C₂³	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
215	C₂⁴	—	2	1	no	—
216	#41	—	2	2	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	8	4	no	—
220	#41	#41	1	4	yes	complemented
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	1	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	Q₁₆	—	2	4	no	—
257	SD₁₆	—	2	4	no	—
258	SD₁₆	—	2	4	no	—
259	SD₁₆	—	2	4	no	—
260	D₈	—	2	4	no	—
261	D₈	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	2	no	—
263	M₁₆	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
290	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
291	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
304	C₄²	—	2	1	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
313	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	8	1	no	—
319	C₂³	—	8	1	no	—
320	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	—	2	1	no	—
323	Q₈	—	2	2	no	—
324	Q₈	—	2	2	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	8	2	no	—
328	Q₈	—	8	4	no	—
329	Q₈	C₂×#41	1	2	yes	—
330	D₄	—	2	4	no	—
331	D₄	—	2	2	no	—
332	D₄	—	2	2	no	—
333	D₄	—	2	1	no	—
334	D₄	—	2	2	no	—
335	D₄	—	2	2	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	D₄	—	4	2	no	—
339	D₄	—	8	1	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	C₂×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	1	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	4	1	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	#548	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	4	1	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	1	no	—
399	C₄	—	4	4	no	—
400	C₄	#548	1	2	yes	—
401	C₄	#576	1	2	yes	—
402	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	4	2	no	—
406	C₂	—	8	2	no	—
407	C₂	—	8	2	no	—
408	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. #3503	C₂	semidirect
3. #3375	C₂	semidirect
4. #3370	C₂	semidirect
5. #3368	C₂	semidirect
6. #3367	C₂	semidirect
7. #3364	C₂	semidirect
8. #3358	C₂	semidirect
9. #3141	C₂	semidirect
10. #3136	C₂	semidirect
11. #3083	C₂	semidirect
12. C₂×#474	C₂	semidirect
13. #3045	C₂	semidirect
14. #3035	C₂	semidirect
15. #2962	C₂	semidirect
16. #2951	C₂	semidirect
17. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
21. Q₈²	C₂²	semidirect
22. #557	C₂²	semidirect
26. #554	C₂²	semidirect
30. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
48. #489	C₂²	semidirect
50. #487	C₂²	semidirect
52. #486	C₂²	semidirect
53. #479	C₂²	semidirect
54. #478	C₂²	semidirect
55. #477	C₂²	semidirect
59. #474	C₂²	semidirect
61. #464	C₂²	semidirect
63. #463	C₂²	semidirect
64. #462	C₂²	semidirect
65. #461	C₂²	semidirect
67. #460	C₂²	semidirect
69. #459	C₂²	semidirect
70. #446	C₂²	semidirect
71. #446	C₂²	semidirect
72. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
75. #440	C₂²	semidirect
76. #440	C₂²	semidirect
77. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
80. C₄×D₈	C₂²	semidirect
220. #41	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
#3503	2
#3375	2
#3370	2
#3368	2
#3367	2
#3364	2
#3358	2
#3141	2
#3136	2
#3083	2
C₂×#474	2
#3045	2
#3035	2
#2962	2
#2951	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2