Subgroups — #61372

Order 256.

841 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3502	C₂	1	2	yes	maximal
2	#3390	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3387	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3383	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3383	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	Q₈×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3164	C₂	1	2	yes	maximal
8	#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#3082	C₂	1	4	yes	maximal
10	#3078	C₂	1	2	yes	maximal
11	#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2950	C₂	1	2	yes	maximal
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	Q₈²	—	2	2	no	—
16	Q₈²	C₂²	1	4	yes	—
17	#557	—	2	2	no	—
18	#557	—	2	4	no	—
19	#557	C₂²	1	4	yes	—
20	#557	C₂²	1	8	yes	—
21	#544	—	2	4	no	—
22	#544	C₂²	1	4	yes	—
23	#533	—	2	4	no	—
24	#533	C₂²	1	2	yes	—
25	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#519	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#501	C₂²	1	8	yes	—
29	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#500	C₂²	1	4	yes	—
31	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#499	C₂²	1	2	yes	—
33	#499	C₂²	1	4	yes	—
34	#499	C₂²	1	2	yes	—
35	#498	C₂²	1	2	yes	—
36	#479	C₂²	1	8	yes	—
37	#479	C₂²	1	8	yes	—
38	#479	C₂²	1	8	yes	—
39	#477	C₂²	1	4	yes	—
40	#477	C₂²	1	8	yes	—
41	#475	C₂²	1	4	yes	—
42	#475	C₂²	1	8	yes	—
43	#446	C₂²	1	2	yes	—
44	#446	C₂²	1	2	yes	—
45	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
47	#441	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
54	#428	C₂²	1	4	yes	—
55	#427	C₂²	1	2	yes	—
56	#427	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#424	C₂²	1	2	yes	—
59	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#419	C₂²	1	4	yes	—
61	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
62	#405	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×Q₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
66	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
72	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
74	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
81	#125	—	2	8	no	—
82	#125	—	2	8	no	—
83	#125	—	2	8	no	—
84	#125	—	2	4	no	—
85	#125	D₄	1	2	yes	—
86	#125	C₂³	1	4	yes	—
87	#125	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
105	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
106	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
108	#117	—	2	8	no	—
109	#117	C₂³	1	4	yes	—
110	#117	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#107	C₂³	1	2	yes	—
116	#107	C₂³	1	2	yes	—
117	#107	C₂³	1	2	yes	—
118	#107	C₂³	1	2	yes	—
119	#107	C₂³	1	2	yes	—
120	#107	C₂³	1	2	yes	—
121	#107	C₂³	1	8	yes	—
122	#106	C₂³	1	4	yes	—
123	#106	C₂³	1	4	yes	—
124	#106	C₂³	1	8	yes	—
125	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
128	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
129	#103	C₂³	1	4	yes	—
130	#103	C₂³	1	4	yes	—
131	#103	C₂³	1	8	yes	—
132	#103	C₂³	1	8	yes	—
133	#97	C₂³	1	4	yes	—
134	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
155	M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
158	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₄²	—	2	4	no	—
187	C₄²	—	2	4	no	—
188	C₄²	—	2	8	no	—
189	C₄²	—	2	8	no	—
190	C₄²	—	2	4	no	—
191	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	Q₈	—	2	8	no	—
198	Q₈	—	2	4	no	—
199	Q₈	—	2	4	no	—
200	Q₈	—	4	2	no	—
201	Q₈	—	4	4	no	—
202	Q₈	—	8	2	no	—
203	Q₈	—	8	8	no	—
204	Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
205	C₂×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
223	C₈	—	2	1	no	—
224	C₈	—	2	1	no	—
225	C₈	—	2	4	no	—
226	C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
227	C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
228	C₂²	—	2	1	no	—
229	C₂²	—	2	1	no	—
230	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
231	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄	—	2	1	no	—
233	C₄	—	2	1	no	—
234	C₄	—	2	4	no	—
235	C₄	—	2	8	no	—
236	C₄	—	2	1	no	—
237	C₄	—	2	4	no	—
238	C₄	—	4	4	no	—
239	C₄	—	4	4	no	—
240	C₄	—	4	4	no	—
241	C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
242	C₄	#578	1	2	yes	—
243	C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂	—	2	2	no	—
246	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3390	C₂	semidirect
3. #3387	C₂	semidirect
4. #3383	C₂	semidirect
5. #3383	C₂	semidirect
6. Q₈×Q₁₆	C₂	semidirect
65. C₂×Q₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3502	2
#3390	2
#3387	2
#3383	2
Q₈×Q₁₆	2
#3164	2
#3160	2
#3082	2
#3078	2
#2960	2
#2950	2
C₂×C₄×Q₁₆	2