Subgroups — #61381

Order 256.

897 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3389	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3385	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	Q₈×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3164	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3083	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3081	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2946	C₂	1	2	yes	maximal
17	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	Q₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#554	—	2	1	no	—
22	#554	—	2	2	no	—
23	#554	—	2	2	no	—
24	#554	C₂²	1	2	yes	—
25	#554	C₂²	1	4	yes	—
26	#554	C₂²	1	2	yes	complemented
27	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#544	—	2	2	no	—
32	#544	C₂²	1	2	yes	—
33	#544	C₂²	1	2	yes	—
34	#543	—	2	2	no	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	#520	C₂²	1	2	yes	—
42	#518	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#500	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#499	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#479	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#478	C₂²	1	4	yes	—
55	#478	C₂²	1	4	yes	—
56	#478	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#477	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#476	C₂²	1	4	yes	—
61	#476	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#474	C₂²	1	4	yes	—
64	#474	C₂²	1	2	yes	—
65	#474	C₂²	1	2	yes	—
66	#474	C₂²	1	4	yes	—
67	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#474	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#442	C₂²	1	4	yes	—
73	#442	C₂²	1	2	yes	—
74	#440	C₂²	1	2	yes	—
75	#440	C₂²	1	4	yes	—
76	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
80	#428	C₂²	1	2	yes	—
81	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#428	C₂²	1	2	yes	—
83	#427	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
85	#424	C₂²	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#416	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	AGL(1,ℤ/8)	Q₈	1	8	yes	complemented
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
112	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
119	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
120	#125	—	2	2	no	—
121	#125	—	2	4	no	—
122	#125	—	2	2	no	—
123	#125	D₄	1	2	yes	—
124	#125	C₂³	1	2	yes	—
125	#125	C₂³	1	4	yes	—
126	#125	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
143	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×D₄	—	2	1	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
161	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
165	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	1	no	—
169	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	#117	C₂³	1	2	yes	—
171	#117	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	#107	C₂³	1	4	yes	—
184	#107	C₂³	1	4	yes	—
185	#107	C₂³	1	2	yes	—
186	#107	C₂³	1	2	yes	—
187	#107	C₂³	1	4	yes	—
188	#107	C₂³	1	2	yes	—
189	#107	C₂³	1	4	yes	—
190	#106	C₂³	1	2	yes	—
191	#106	C₂³	1	2	yes	—
192	#106	C₂³	1	4	yes	—
193	#106	C₂³	1	2	yes	—
194	#106	C₂³	1	4	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
200	#103	C₂³	1	2	yes	—
201	#103	C₂³	1	2	yes	—
202	#103	C₂³	1	2	yes	—
203	#102	C₂³	1	4	yes	—
204	#102	C₂³	1	4	yes	—
205	#102	C₂³	1	2	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	2	yes	—
208	#102	C₂³	1	2	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#97	C₂³	1	2	yes	—
211	#97	C₂³	1	4	yes	—
212	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	#41	—	2	2	no	—
216	#41	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
233	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	SD₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
250	D₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
251	M₁₆	—	2	2	no	—
252	M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
282	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
297	C₄²	—	2	1	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
306	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	8	1	no	—
311	C₂³	—	8	1	no	—
312	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	2	4	no	—
314	Q₈	—	2	1	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	8	1	no	—
319	Q₈	—	8	2	no	—
320	Q₈	—	8	4	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	Q₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
323	D₄	—	2	4	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	2	1	no	—
327	D₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
328	D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	1	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	1	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	1	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
386	C₄	#576	1	2	yes	—
387	C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	4	2	no	—
391	C₂	—	4	4	no	—
392	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3503	C₂	semidirect
2. #3501	C₂	semidirect
3. #3389	C₂	semidirect
4. #3386	C₂	semidirect
5. #3385	C₂	semidirect
6. #3384	C₂	semidirect
7. #3381	C₂	semidirect
8. Q₈×D₈	C₂	semidirect
9. #3165	C₂	semidirect
10. #3164	C₂	semidirect
11. #3083	C₂	semidirect
12. #3081	C₂	semidirect
13. #3076	C₂	semidirect
14. C₂×#474	C₂	semidirect
15. #2962	C₂	semidirect
19. Q₈²	C₂²	semidirect
20. #557	C₂²	semidirect
26. #554	C₂²	semidirect
30. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
45. #501	C₂²	semidirect
46. #501	C₂²	semidirect
47. #501	C₂²	semidirect
48. #500	C₂²	semidirect
49. #500	C₂²	semidirect
50. #499	C₂²	semidirect
51. #498	C₂²	semidirect
52. #479	C₂²	semidirect
53. #479	C₂²	semidirect
56. #478	C₂²	semidirect
57. #478	C₂²	semidirect
58. #477	C₂²	semidirect
59. #477	C₂²	semidirect
61. #476	C₂²	semidirect
62. #475	C₂²	semidirect
67. #474	C₂²	semidirect
68. #474	C₂²	semidirect
69. #446	C₂²	semidirect
70. #446	C₂²	semidirect
71. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
99. AGL(1,ℤ/8)	Q₈	semidirect
216. #41	C₂×Q₈	semidirect
232. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
249. SD₁₆	C₂×Q₈	semidirect
250. D₈	C₂×Q₈	semidirect
252. M₁₆	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3503	2
#3501	2
#3389	2
#3386	2
#3385	2
#3384	2
#3381	2
Q₈×D₈	2
#3165	2
#3164	2
#3083	2
#3081	2
#3076	2
C₂×#474	2
#2962	2
#2946	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2