Subgroups — #61407

Order 256.

961 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3507	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3401	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3399	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3394	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3394	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3037	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3036	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#559	C₂²	1	4	yes	—
24	#559	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#556	—	2	1	no	—
27	#556	C₂²	1	2	yes	—
28	#556	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#555	—	2	1	no	—
30	#554	—	2	1	no	—
31	#553	—	2	2	no	—
32	#552	—	2	2	no	—
33	#550	C₂²	1	2	yes	—
34	#547	—	2	1	no	—
35	#539	—	2	2	no	—
36	#538	—	2	2	no	—
37	#536	C₂²	1	2	yes	—
38	#535	C₂²	1	2	yes	—
39	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#529	—	2	2	no	—
43	#525	—	2	2	no	—
44	#520	C₂²	1	2	yes	—
45	#520	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#497	C₂²	1	4	yes	—
49	#496	C₂²	1	4	yes	—
50	#495	C₂²	1	4	yes	—
51	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
55	#492	C₂²	1	4	yes	—
56	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#464	C₂²	1	4	yes	—
59	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#463	C₂²	1	4	yes	—
62	#463	C₂²	1	4	yes	—
63	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#461	C₂²	1	2	yes	—
67	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#460	C₂²	1	4	yes	—
69	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#459	C₂²	1	2	yes	—
71	#459	C₂²	1	4	yes	—
72	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
77	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
78	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
84	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#424	C₂²	1	2	yes	—
86	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#417	C₂²	1	2	yes	—
88	#417	C₂²	1	2	yes	—
89	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	#137	—	4	4	no	—
100	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
101	#135	—	2	8	no	—
102	#135	—	4	4	no	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
126	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#127	C₂³	1	4	yes	—
129	#126	—	2	4	no	—
130	#126	—	2	4	no	—
131	#126	—	2	4	no	—
132	#125	—	2	2	no	—
133	#125	—	2	4	no	—
134	#125	D₄	1	2	yes	—
135	#124	—	2	2	no	—
136	#124	—	2	4	no	—
137	#124	C₂³	1	2	yes	—
138	#124	C₂³	1	2	yes	—
139	#124	C₂³	1	4	yes	—
140	#124	C₂³	1	4	yes	—
141	#123	—	2	4	no	—
142	#123	—	2	4	no	—
143	#123	—	2	4	no	—
144	#123	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
150	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
151	#121	—	2	1	no	—
152	#121	—	2	1	no	—
153	#121	—	2	1	no	—
154	#121	—	2	1	no	—
155	#121	—	2	2	no	—
156	#121	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	2	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#120	—	2	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	1	no	—
177	C₄×D₄	—	2	1	no	—
178	C₄×D₄	—	2	1	no	—
179	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
182	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	C₂³	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	#106	C₂³	1	2	yes	—
197	#106	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
201	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
202	#103	C₂³	1	2	yes	—
203	#103	C₂³	1	2	yes	—
204	#103	C₂³	1	4	yes	—
205	#103	C₂³	1	4	yes	—
206	#102	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	2	yes	—
208	#102	C₂³	1	4	yes	—
209	#102	C₂³	1	4	yes	—
210	#97	C₂³	1	4	yes	—
211	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
212	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
213	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
214	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	8	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	2	1	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	2	4	no	—
258	Q₁₆	—	4	2	no	—
259	Q₁₆	—	4	4	no	—
260	SD₁₆	—	2	4	no	—
261	SD₁₆	—	2	4	no	—
262	SD₁₆	—	2	4	no	—
263	SD₁₆	—	2	4	no	—
264	SD₁₆	—	4	2	no	—
265	SD₁₆	—	4	2	no	—
266	SD₁₆	—	4	4	no	—
267	SD₁₆	—	4	4	no	—
268	D₈	—	2	4	no	—
269	D₈	—	4	2	no	—
270	D₈	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	8	1	no	—
326	C₂³	—	8	1	no	—
327	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	2	4	no	—
329	Q₈	—	2	2	no	—
330	Q₈	—	2	2	no	—
331	Q₈	—	2	2	no	—
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	2	2	no	—
334	Q₈	—	2	2	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	D₄	—	2	2	no	—
338	D₄	—	2	2	no	—
339	D₄	—	2	2	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	8	1	no	—
349	D₄	—	8	1	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	1	no	—
367	C₂×C₄	—	8	1	no	—
368	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
378	C₈	—	2	1	no	—
379	C₈	—	2	1	no	—
380	C₈	—	2	4	no	—
381	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
382	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	#550	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	#550	1	2	yes	—
408	C₄	#577	1	2	yes	—
409	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
410	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	8	2	no	—
413	C₂	—	8	2	no	—
414	C₂	—	8	2	no	—
415	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3507	C₂	semidirect
2. #3506	C₂	semidirect
3. #3401	C₂	semidirect
4. #3399	C₂	semidirect
5. #3398	C₂	semidirect
6. #3394	C₂	semidirect
7. #3394	C₂	semidirect
8. #3392	C₂	semidirect
9. #3154	C₂	semidirect
10. #3147	C₂	semidirect
11. #3046	C₂	semidirect
12. #3045	C₂	semidirect
13. #3037	C₂	semidirect
14. #3036	C₂	semidirect
15. #2960	C₂	semidirect
16. #2952	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
24. #559	C₂²	semidirect
25. #557	C₂²	semidirect
28. #556	C₂²	semidirect
51. #495	C₂²	semidirect
52. #495	C₂²	semidirect
53. #494	C₂²	semidirect
54. #493	C₂²	semidirect
56. #492	C₂²	semidirect
57. #492	C₂²	semidirect
59. #464	C₂²	semidirect
60. #464	C₂²	semidirect
63. #463	C₂²	semidirect
64. #462	C₂²	semidirect
65. #462	C₂²	semidirect
67. #461	C₂²	semidirect
69. #460	C₂²	semidirect
72. #446	C₂²	semidirect
73. #446	C₂²	semidirect
74. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
75. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
76. #442	C₂²	semidirect
77. #441	C₂²	semidirect
82. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
83. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
273. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3507	2
#3506	2
#3401	2
#3399	2
#3398	2
#3394	2
#3392	2
#3154	2
#3147	2
#3046	2
#3045	2
#3037	2
#3036	2
#2960	2
#2952	2
C₂×C₄×SD₁₆	2