Subgroups — #61415

Order 256.

957 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3507	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3403	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3402	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3400	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3397	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3037	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3036	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×#440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#559	C₂²	1	4	yes	—
22	#559	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#556	—	2	1	no	—
25	#556	C₂²	1	2	yes	—
26	#556	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#555	—	2	1	no	—
28	#554	—	2	1	no	—
29	#553	—	2	2	no	—
30	#552	—	2	2	no	—
31	#550	C₂²	1	2	yes	—
32	#547	—	2	1	no	—
33	#539	—	2	2	no	—
34	#538	—	2	2	no	—
35	#536	C₂²	1	2	yes	—
36	#535	C₂²	1	2	yes	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#529	—	2	2	no	—
41	#525	—	2	2	no	—
42	#520	C₂²	1	2	yes	—
43	#520	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#497	C₂²	1	4	yes	—
47	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#496	C₂²	1	4	yes	—
50	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#495	C₂²	1	4	yes	—
53	#492	C₂²	1	4	yes	—
54	#464	C₂²	1	4	yes	—
55	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#463	C₂²	1	4	yes	—
58	#463	C₂²	1	4	yes	—
59	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#461	C₂²	1	2	yes	—
63	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#460	C₂²	1	4	yes	—
65	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#459	C₂²	1	4	yes	—
67	#459	C₂²	1	2	yes	—
68	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#440	C₂²	1	4	yes	—
71	#440	C₂²	1	4	yes	—
72	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
74	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
76	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#424	C₂²	1	2	yes	—
78	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#417	C₂²	1	2	yes	—
80	#417	C₂²	1	2	yes	—
81	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	#137	—	4	4	no	—
92	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
93	#135	—	2	8	no	—
94	#135	—	4	4	no	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
117	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#127	C₂³	1	4	yes	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#126	—	2	4	no	—
122	#126	—	2	4	no	—
123	#125	—	2	2	no	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	D₄	1	2	yes	—
126	#124	—	2	2	no	—
127	#124	—	2	4	no	—
128	#124	C₂³	1	2	yes	—
129	#124	C₂³	1	2	yes	—
130	#124	C₂³	1	4	yes	—
131	#124	C₂³	1	4	yes	—
132	#123	—	2	4	no	—
133	#123	—	2	4	no	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	#123	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
141	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
142	#121	—	2	1	no	—
143	#121	—	2	1	no	—
144	#121	—	2	1	no	—
145	#121	—	2	1	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	2	no	—
149	#121	—	2	4	no	—
150	#120	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
158	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	—	2	1	no	—
168	C₄×D₄	—	2	1	no	—
169	C₄×D₄	—	2	1	no	—
170	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
172	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
173	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
187	#107	C₂³	1	4	yes	—
188	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
191	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
192	#103	C₂³	1	4	yes	—
193	#103	C₂³	1	4	yes	—
194	#103	C₂³	1	4	yes	—
195	#102	C₂³	1	4	yes	—
196	#102	C₂³	1	4	yes	—
197	#102	C₂³	1	4	yes	—
198	#97	C₂³	1	2	yes	—
199	#97	C₂³	1	2	yes	—
200	#97	C₂³	1	4	yes	—
201	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
202	C₂⁴	—	2	1	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	8	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	1	no	—
219	C₂×D₄	—	2	1	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	2	4	no	—
244	Q₁₆	—	4	2	no	—
245	Q₁₆	—	4	4	no	—
246	SD₁₆	—	2	8	no	—
247	SD₁₆	—	2	4	no	—
248	SD₁₆	—	2	4	no	—
249	SD₁₆	—	4	2	no	—
250	SD₁₆	—	4	2	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	SD₁₆	—	4	4	no	—
253	D₈	—	2	4	no	—
254	D₈	—	4	2	no	—
255	D₈	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
259	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	8	1	no	—
309	C₂³	—	8	1	no	—
310	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	2	no	—
312	Q₈	—	2	2	no	—
313	Q₈	—	2	2	no	—
314	Q₈	—	2	2	no	—
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	2	2	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	D₄	—	2	2	no	—
321	D₄	—	2	2	no	—
322	D₄	—	2	2	no	—
323	D₄	—	2	2	no	—
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	8	1	no	—
332	D₄	—	8	1	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	1	no	—
350	C₂×C₄	—	8	1	no	—
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	#550	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	#550	1	2	yes	—
390	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
391	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
392	C₂	—	2	2	no	—
393	C₂	—	8	2	no	—
394	C₂	—	8	2	no	—
395	C₂	—	8	2	no	—
396	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3507	C₂	semidirect
2. #3506	C₂	semidirect
3. #3403	C₂	semidirect
4. #3402	C₂	semidirect
5. #3400	C₂	semidirect
6. #3397	C₂	semidirect
7. #3154	C₂	semidirect
8. #3150	C₂	semidirect
9. #3046	C₂	semidirect
10. #3045	C₂	semidirect
11. #3037	C₂	semidirect
12. #3036	C₂	semidirect
13. #2961	C₂	semidirect
14. #2951	C₂	semidirect
15. C₂×#440	C₂	semidirect
22. #559	C₂²	semidirect
23. #557	C₂²	semidirect
26. #556	C₂²	semidirect
47. #497	C₂²	semidirect
48. #497	C₂²	semidirect
50. #496	C₂²	semidirect
51. #496	C₂²	semidirect
55. #464	C₂²	semidirect
56. #464	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #462	C₂²	semidirect
61. #462	C₂²	semidirect
63. #461	C₂²	semidirect
65. #460	C₂²	semidirect
68. #446	C₂²	semidirect
69. #446	C₂²	semidirect
72. #440	C₂²	semidirect
73. #440	C₂²	semidirect
74. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
75. C₄×D₈	C₂²	semidirect
258. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3507	2
#3506	2
#3403	2
#3402	2
#3400	2
#3397	2
#3154	2
#3150	2
#3046	2
#3045	2
#3037	2
#3036	2
#2961	2
#2951	2
C₂×#440	2