Subgroups — #61418

Order 256.

927 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3510	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3402	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3401	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3400	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3398	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3154	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3043	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3042	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3040	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#2949	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
19	#2943	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
20	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#559	C₂²	1	4	yes	—
30	#557	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#556	C₂²	1	4	yes	—
32	#556	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#552	—	2	4	no	—
34	#551	—	2	4	no	—
35	#542	—	2	2	no	—
36	#541	—	2	2	no	—
37	#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#535	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#533	—	2	2	no	—
42	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#529	—	2	2	no	—
45	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#497	C₂²	1	2	yes	—
53	#497	C₂²	1	4	yes	—
54	#497	C₂²	1	4	yes	—
55	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#496	C₂²	1	2	yes	—
58	#495	C₂²	1	2	yes	—
59	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#492	C₂²	1	2	yes	—
62	#464	C₂²	1	4	yes	—
63	#464	C₂²	1	4	yes	—
64	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#463	C₂²	1	4	yes	—
67	#463	C₂²	1	4	yes	—
68	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#461	C₂²	1	4	yes	—
72	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#460	C₂²	1	4	yes	—
74	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
75	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#442	C₂²	1	2	yes	complemented
77	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
79	#440	C₂²	1	4	yes	—
80	#440	C₂²	1	2	yes	complemented
81	#440	C₂²	1	2	yes	complemented
82	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
84	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	#419	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
94	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
95	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#137	—	4	2	no	—
104	#137	—	4	2	no	—
105	#137	—	4	2	no	—
106	AGL(1,ℤ/8)	—	4	2	no	—
107	#135	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
137	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
138	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
140	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
141	#127	C₂³	1	2	yes	—
142	#126	—	2	4	no	—
143	#126	—	2	4	no	—
144	#126	—	2	4	no	—
145	#126	—	2	4	no	—
146	#125	—	2	4	no	—
147	#125	—	2	4	no	—
148	#125	—	2	4	no	—
149	#125	D₄	1	2	yes	—
150	#124	—	2	4	no	—
151	#124	—	2	1	no	—
152	#124	—	2	1	no	—
153	#124	C₂³	1	4	yes	—
154	#124	C₂³	1	2	yes	—
155	#124	C₂³	1	2	yes	—
156	#124	C₂³	1	2	yes	—
157	#124	C₂³	1	2	yes	—
158	#123	—	2	4	no	—
159	#123	—	2	4	no	—
160	#123	—	2	2	no	—
161	#123	—	2	2	no	—
162	#123	—	2	2	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
169	#121	—	2	2	no	—
170	#120	—	2	2	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
176	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
178	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
180	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
181	C₄×D₄	—	2	2	no	—
182	C₄×D₄	—	2	2	no	—
183	C₄×D₄	—	2	2	no	—
184	C₄×D₄	—	2	4	no	—
185	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
186	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
187	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	1	no	—
194	#117	—	2	1	no	—
195	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
205	#107	C₂³	1	2	yes	—
206	#106	C₂³	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
210	#103	C₂³	1	2	yes	—
211	#103	C₂³	1	2	yes	—
212	#103	C₂³	1	4	yes	—
213	#103	C₂³	1	4	yes	—
214	#103	C₂³	1	4	yes	—
215	#102	C₂³	1	2	yes	—
216	#102	C₂³	1	2	yes	—
217	#102	C₂³	1	4	yes	—
218	#97	C₂³	1	2	yes	—
219	#97	C₂³	1	2	yes	—
220	#97	C₂³	1	2	yes	—
221	#97	C₂³	1	2	yes	—
222	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
223	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
224	C₂⁴	—	2	1	no	—
225	#41	—	2	2	no	—
226	#41	—	2	2	no	—
227	#41	—	2	2	no	—
228	#41	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₂×D₄	—	2	1	no	—
245	C₂×D₄	—	2	1	no	—
246	C₂×D₄	—	2	1	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
263	Q₁₆	—	2	4	no	—
264	Q₁₆	—	2	4	no	—
265	Q₁₆	—	2	2	no	—
266	Q₁₆	—	4	4	no	—
267	Q₁₆	—	4	2	no	—
268	Q₁₆	—	4	2	no	—
269	Q₁₆	—	4	2	no	—
270	SD₁₆	—	2	4	no	—
271	SD₁₆	—	2	4	no	—
272	SD₁₆	—	2	2	no	—
273	SD₁₆	—	2	2	no	—
274	SD₁₆	—	4	4	no	—
275	SD₁₆	—	4	2	no	—
276	SD₁₆	—	4	2	no	—
277	SD₁₆	—	4	2	no	—
278	SD₁₆	—	4	2	no	—
279	D₈	—	2	2	no	—
280	D₈	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	2	2	no	—
282	M₁₆	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
285	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
305	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
319	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	1	no	—
322	C₄²	—	2	1	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
332	C₂³	—	2	1	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	1	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	2	2	no	—
339	Q₈	—	2	1	no	—
340	Q₈	—	2	1	no	—
341	Q₈	—	2	2	no	—
342	Q₈	—	2	2	no	—
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	2	1	no	—
345	Q₈	—	2	2	no	—
346	Q₈	—	2	2	no	—
347	Q₈	—	2	1	no	—
348	Q₈	—	4	4	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	Q₈	—	4	2	no	—
352	D₄	—	2	1	no	—
353	D₄	—	2	1	no	—
354	D₄	—	2	2	no	—
355	D₄	—	2	1	no	—
356	D₄	—	2	2	no	—
357	D₄	—	2	1	no	—
358	D₄	—	4	2	no	—
359	D₄	—	4	2	no	—
360	D₄	—	4	2	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	1	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
390	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	4	1	no	—
396	C₂²	—	4	1	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	#550	1	2	yes	—
400	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	4	no	—
404	C₄	—	2	4	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	#550	1	2	yes	—
413	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
414	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
415	C₂	—	2	2	no	—
416	C₂	—	8	1	no	—
417	C₂	—	8	1	no	—
418	C₂	—	8	2	no	—
419	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3154	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3510	C₂	semidirect
2. #3509	C₂	semidirect
3. #3402	C₂	semidirect
4. #3401	C₂	semidirect
5. #3400	C₂	semidirect
6. #3398	C₂	semidirect
7. #3156	C₂	semidirect
9. C₂×#497	C₂	semidirect
10. #3044	C₂	semidirect
11. #3044	C₂	semidirect
12. #3043	C₂	semidirect
13. #3042	C₂	semidirect
14. #3040	C₂	semidirect
15. #3039	C₂	semidirect
16. #2961	C₂	semidirect
17. #2950	C₂	semidirect
18. #2949	C₂	semidirect
19. #2943	C₂	semidirect
30. #557	C₂²	semidirect
32. #556	C₂²	semidirect
55. #497	C₂²	semidirect
56. #497	C₂²	semidirect
59. #495	C₂²	semidirect
60. #494	C₂²	semidirect
64. #464	C₂²	semidirect
65. #464	C₂²	semidirect
68. #462	C₂²	semidirect
69. #462	C₂²	semidirect
70. #462	C₂²	semidirect
72. #461	C₂²	semidirect
74. #446	C₂²	semidirect
75. #446	C₂²	semidirect
76. #442	C₂²	semidirect
77. #441	C₂²	semidirect
78. #441	C₂²	semidirect
80. #440	C₂²	semidirect
81. #440	C₂²	semidirect
82. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3510	2
#3509	2
#3402	2
#3401	2
#3400	2
#3398	2
#3156	2
#3154	2
C₂×#497	2
#3044	2
#3043	2
#3042	2
#3040	2
#3039	2
#2961	2
#2950	2
#2949	2
#2943	2