Subgroups — #61420

Order 256.

954 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3401	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3400	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3397	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3046	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#559	C₂²	1	4	yes	—
24	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#556	C₂²	1	2	yes	—
27	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#555	—	2	1	no	—
30	#553	—	2	2	no	—
31	#552	—	2	2	no	—
32	#552	—	2	2	no	—
33	#550	C₂²	1	2	yes	—
34	#547	—	2	1	no	—
35	#541	—	2	2	no	—
36	#538	—	2	2	no	—
37	#536	C₂²	1	2	yes	—
38	#535	C₂²	1	2	yes	—
39	#533	—	2	1	no	—
40	#533	—	2	1	no	—
41	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#525	—	2	2	no	—
45	#520	C₂²	1	2	yes	—
46	#519	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#497	C₂²	1	4	yes	—
50	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#496	C₂²	1	4	yes	—
52	#495	C₂²	1	4	yes	—
53	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#492	C₂²	1	4	yes	—
55	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#464	C₂²	1	4	yes	—
57	#464	C₂²	1	4	yes	—
58	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#464	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#463	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#461	C₂²	1	2	yes	—
65	#461	C₂²	1	2	yes	—
66	#461	C₂²	1	4	yes	—
67	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
69	#460	C₂²	1	4	yes	—
70	#460	C₂²	1	4	yes	—
71	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#459	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#442	C₂²	1	2	yes	—
77	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
78	#440	C₂²	1	2	yes	—
79	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
80	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
81	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
83	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
84	#428	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#424	C₂²	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#418	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#417	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#416	C₂²	1	2	yes	—
90	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
91	#405	C₂²	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	#137	—	2	8	no	—
100	#137	—	4	4	no	—
101	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
102	#135	—	4	4	no	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
124	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
127	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#127	C₂³	1	4	yes	—
129	#126	—	2	4	no	—
130	#126	—	2	4	no	—
131	#126	—	2	4	no	—
132	#125	—	2	2	no	—
133	#125	—	2	2	no	—
134	#125	—	2	4	no	—
135	#125	—	2	4	no	—
136	#125	D₄	1	2	yes	—
137	#124	—	2	4	no	—
138	#124	C₂³	1	2	yes	—
139	#124	C₂³	1	4	yes	—
140	#124	C₂³	1	4	yes	—
141	#123	—	2	4	no	—
142	#123	—	2	4	no	—
143	#123	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
150	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
151	#121	—	2	1	no	—
152	#121	—	2	1	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	2	no	—
155	#121	—	2	2	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	#120	—	2	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	—	2	1	no	—
170	C₄×D₄	—	2	1	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	1	no	—
177	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	1	no	—
188	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
189	#117	C₂³	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	#107	C₂³	1	2	yes	—
198	#106	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
204	#103	C₂³	1	4	yes	—
205	#103	C₂³	1	4	yes	—
206	#103	C₂³	1	2	yes	—
207	#103	C₂³	1	2	yes	—
208	#103	C₂³	1	2	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#102	C₂³	1	2	yes	—
211	#102	C₂³	1	2	yes	—
212	#102	C₂³	1	2	yes	—
213	#102	C₂³	1	2	yes	—
214	#97	C₂³	1	2	yes	—
215	#97	C₂³	1	4	yes	—
216	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
218	C₂⁴	—	2	1	no	—
219	#41	—	2	2	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	2	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	8	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
231	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	2	1	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	1	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	2	8	no	—
258	Q₁₆	—	4	2	no	—
259	Q₁₆	—	4	4	no	—
260	SD₁₆	—	2	4	no	—
261	SD₁₆	—	2	8	no	—
262	SD₁₆	—	4	4	no	—
263	SD₁₆	—	4	4	no	—
264	SD₁₆	—	4	2	no	—
265	SD₁₆	—	4	2	no	—
266	SD₁₆	—	4	4	no	—
267	D₈	—	2	4	no	—
268	D₈	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	2	2	no	—
270	M₁₆	#41	1	4	yes	complemented
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
298	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
312	C₄²	—	2	1	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	1	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
322	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	8	1	no	—
328	C₂³	—	8	1	no	—
329	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	2	1	no	—
332	Q₈	—	2	4	no	—
333	Q₈	—	2	2	no	—
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	2	1	no	—
336	Q₈	—	2	2	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	D₄	—	2	1	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	1	no	—
343	D₄	—	2	2	no	—
344	D₄	—	2	2	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	8	1	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	1	no	—
369	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	#550	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	4	1	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	1	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	#550	1	2	yes	—
409	C₄	#577	1	2	yes	—
410	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
411	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	8	1	no	—
414	C₂	—	8	2	no	—
415	C₂	—	8	2	no	—
416	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3509	C₂	semidirect
2. #3506	C₂	semidirect
3. #3401	C₂	semidirect
4. #3400	C₂	semidirect
5. #3398	C₂	semidirect
6. #3397	C₂	semidirect
7. #3393	C₂	semidirect
8. #3392	C₂	semidirect
9. #3154	C₂	semidirect
10. #3152	C₂	semidirect
11. #3046	C₂	semidirect
12. #3043	C₂	semidirect
13. #3035	C₂	semidirect
14. C₂×#461	C₂	semidirect
15. #2962	C₂	semidirect
16. #2947	C₂	semidirect
17. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
24. #557	C₂²	semidirect
25. #557	C₂²	semidirect
27. #556	C₂²	semidirect
28. #556	C₂²	semidirect
50. #497	C₂²	semidirect
53. #494	C₂²	semidirect
55. #492	C₂²	semidirect
58. #464	C₂²	semidirect
59. #464	C₂²	semidirect
60. #463	C₂²	semidirect
61. #463	C₂²	semidirect
62. #462	C₂²	semidirect
63. #462	C₂²	semidirect
67. #461	C₂²	semidirect
68. #461	C₂²	semidirect
71. #460	C₂²	semidirect
72. #459	C₂²	semidirect
73. #446	C₂²	semidirect
74. #446	C₂²	semidirect
75. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
77. #441	C₂²	semidirect
79. #440	C₂²	semidirect
80. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
82. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
270. M₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3509	2
#3506	2
#3401	2
#3400	2
#3398	2
#3397	2
#3393	2
#3392	2
#3154	2
#3152	2
#3046	2
#3043	2
#3035	2
C₂×#461	2
#2962	2
#2947	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2