Subgroups — #61478

Order 256.

884 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3393	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3313	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3116	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2950	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
21	#556	—	2	4	no	—
22	#556	—	2	2	no	—
23	#556	C₂²	1	2	yes	—
24	#556	C₂²	1	4	yes	—
25	#555	—	2	2	no	—
26	#555	C₂²	1	2	yes	—
27	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#548	C₂²	1	4	yes	—
29	#542	—	2	4	no	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	—
31	#533	—	2	2	no	—
32	#533	C₂²	1	2	yes	—
33	#529	—	2	2	no	—
34	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#519	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
37	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#500	C₂²	1	2	yes	—
39	#495	C₂²	1	2	yes	—
40	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#489	C₂²	1	4	yes	—
42	#487	C₂²	1	2	yes	—
43	#485	C₂²	1	4	yes	—
44	#485	C₂²	1	4	yes	—
45	#482	C₂²	1	4	yes	—
46	#477	C₂²	1	2	yes	—
47	#477	C₂²	1	4	yes	—
48	#476	C₂²	1	2	yes	—
49	#475	C₂²	1	4	yes	—
50	#468	C₂²	1	4	yes	—
51	#467	C₂²	1	2	yes	—
52	#467	C₂²	1	2	yes	—
53	#467	C₂²	1	2	yes	—
54	#466	C₂²	1	2	yes	—
55	#464	C₂²	1	4	yes	—
56	#464	C₂²	1	4	yes	—
57	#462	C₂²	1	2	yes	—
58	#461	C₂²	1	2	yes	—
59	#452	C₂²	1	4	yes	—
60	#451	C₂²	1	4	yes	—
61	#448	C₂²	1	4	yes	—
62	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#441	C₂²	1	4	yes	—
65	#441	C₂²	1	4	yes	—
66	#440	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#435	C₂²	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
81	#433	C₂²	1	2	yes	—
82	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#427	C₂²	1	2	yes	—
84	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#419	C₂²	1	4	yes	—
86	#416	C₂²	1	2	yes	—
87	#405	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
91	#135	—	2	4	no	—
92	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#126	—	2	4	no	—
111	#126	—	2	4	no	—
112	#126	—	2	4	no	—
113	#126	—	2	4	no	—
114	#126	D₄	1	2	yes	—
115	#125	—	2	2	no	—
116	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	4	no	—
120	#124	—	2	4	no	—
121	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
122	#124	C₂³	1	4	yes	—
123	#123	—	2	4	no	—
124	#123	D₄	1	2	yes	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	#121	—	2	2	no	—
134	#121	—	2	4	no	—
135	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
136	#121	C₂³	1	4	yes	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	C₂³	1	2	yes	—
163	#117	C₂³	1	4	yes	—
164	#117	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	#107	C₂³	1	2	yes	—
170	#107	C₂³	1	2	yes	—
171	#107	C₂³	1	4	yes	—
172	#106	C₂³	1	2	yes	—
173	#106	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	#103	C₂³	1	2	yes	—
179	#103	C₂³	1	2	yes	—
180	#103	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	4	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#102	C₂³	1	2	yes	—
186	#102	C₂³	1	2	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
191	#97	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	Q₁₆	—	2	8	no	—
222	Q₁₆	—	2	4	no	—
223	Q₁₆	—	4	2	no	—
224	Q₁₆	#41	1	4	yes	—
225	SD₁₆	—	2	4	no	—
226	SD₁₆	—	4	4	no	—
227	D₈	—	2	2	no	—
228	M₁₆	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	Q₈	—	2	2	no	—
288	Q₈	—	2	2	no	—
289	Q₈	—	2	4	no	—
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	4	8	no	—
292	Q₈	—	8	2	no	—
293	Q₈	—	8	4	no	—
294	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
295	D₄	—	2	2	no	—
296	D₄	—	2	2	no	—
297	D₄	—	2	2	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	1	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	1	no	—
328	C₈	—	2	1	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	#578	1	2	yes	—
354	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	4	1	no	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3518	C₂	semidirect
2. #3393	C₂	semidirect
3. Q₈×Q₁₆	C₂	semidirect
4. #3369	C₂	semidirect
5. #3342	C₂	semidirect
6. #3341	C₂	semidirect
7. #3329	C₂	semidirect
8. #3313	C₂	semidirect
9. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
10. #3285	C₂	semidirect
11. #3175	C₂	semidirect
12. #3170	C₂	semidirect
13. #3121	C₂	semidirect
14. #3116	C₂	semidirect
15. #2966	C₂	semidirect
16. #2950	C₂	semidirect
17. C₄×#135	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3518	2
#3393	2
Q₈×Q₁₆	2
#3369	2
#3342	2
#3341	2
#3329	2
#3313	2
D₄×Q₁₆	2
#3285	2
#3175	2
#3170	2
#3121	2
#3116	2
#2966	2
#2950	2
C₄×#135	2