Subgroups — #61482

Order 256.

941 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3393	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3314	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3124	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3110	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#554	C₂²	1	4	yes	—
22	#552	—	2	2	no	—
23	#551	—	2	4	no	—
24	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#548	—	2	2	no	—
26	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#546	C₂²	1	4	yes	—
29	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#539	—	2	4	no	—
31	#533	C₂²	1	2	yes	—
32	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#525	—	2	2	no	—
34	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
35	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#495	C₂²	1	2	yes	—
40	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#484	C₂²	1	4	yes	—
44	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#474	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#467	C₂²	1	2	yes	—
52	#467	C₂²	1	2	yes	—
53	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#466	C₂²	1	2	yes	—
55	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#463	C₂²	1	4	yes	—
57	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#450	C₂²	1	4	yes	—
61	#449	C₂²	1	4	yes	—
62	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
67	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
78	#435	C₂²	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
82	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
85	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
86	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
87	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	#135	—	2	8	no	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×D₈	—	2	4	no	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#126	—	2	4	no	—
111	#126	—	2	4	no	—
112	#126	D₄	1	2	yes	—
113	#125	—	2	4	no	—
114	#125	—	2	2	no	—
115	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#124	—	2	4	no	—
117	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#124	C₂³	1	4	yes	—
119	#123	—	2	4	no	—
120	#123	—	2	4	no	—
121	#123	—	2	4	no	—
122	#123	—	2	4	no	—
123	#123	D₄	1	2	yes	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
138	#121	C₂³	1	4	yes	—
139	#120	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	#107	C₂³	1	2	yes	—
170	#107	C₂³	1	2	yes	—
171	#107	C₂³	1	4	yes	—
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	#103	C₂³	1	4	yes	—
179	#103	C₂³	1	4	yes	—
180	#103	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	4	yes	—
182	#102	C₂³	1	2	yes	—
183	#102	C₂³	1	2	yes	—
184	#102	C₂³	1	2	yes	—
185	#102	C₂³	1	2	yes	—
186	#102	C₂³	1	4	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
191	#97	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	8	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
205	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	Q₁₆	—	2	4	no	—
230	Q₁₆	—	4	2	no	—
231	SD₁₆	—	2	8	no	—
232	SD₁₆	—	4	4	no	—
233	D₈	—	2	4	no	—
234	D₈	—	2	2	no	—
235	D₈	#41	1	4	yes	complemented
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	8	4	no	—
299	D₄	—	2	4	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	2	2	no	—
302	D₄	—	2	2	no	—
303	D₄	—	2	2	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	1	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	2	1	no	—
338	C₈	—	2	1	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	8	8	no	—
353	C₂²	#578	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	#576	1	2	yes	—
367	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	4	2	no	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3520	C₂	semidirect
2. #3393	C₂	semidirect
3. Q₈×D₈	C₂	semidirect
4. #3367	C₂	semidirect
5. #3338	C₂	semidirect
6. #3334	C₂	semidirect
7. #3330	C₂	semidirect
8. #3314	C₂	semidirect
9. #3283	C₂	semidirect
10. #3280	C₂	semidirect
11. #3175	C₂	semidirect
12. #3170	C₂	semidirect
13. #3124	C₂	semidirect
14. #3110	C₂	semidirect
15. #2966	C₂	semidirect
16. #2951	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
20. #556	C₂²	semidirect
24. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
26. #547	C₂²	semidirect
27. #547	C₂²	semidirect
29. #542	C₂²	semidirect
35. #520	C₂²	semidirect
37. #500	C₂²	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
40. #494	C₂²	semidirect
41. #489	C₂²	semidirect
42. #487	C₂²	semidirect
44. #484	C₂²	semidirect
45. #480	C₂²	semidirect
46. #477	C₂²	semidirect
47. #474	C₂²	semidirect
48. #474	C₂²	semidirect
49. #474	C₂²	semidirect
50. #468	C₂²	semidirect
53. #467	C₂²	semidirect
55. #464	C₂²	semidirect
57. #461	C₂²	semidirect
58. #461	C₂²	semidirect
59. #452	C₂²	semidirect
62. #446	C₂²	semidirect
63. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
64. #440	C₂²	semidirect
65. #440	C₂²	semidirect
66. #440	C₂²	semidirect
67. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
68. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
69. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
77. #436	C₂²	semidirect
80. C₈×D₄	C₂²	semidirect
81. #433	C₂²	semidirect
84. C₂×#107	C₂²	semidirect
85. #417	C₂²	semidirect
87. #405	C₂²	semidirect
235. D₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3520	2
#3393	2
Q₈×D₈	2
#3367	2
#3338	2
#3334	2
#3330	2
#3314	2
#3283	2
#3280	2
#3175	2
#3170	2
#3124	2
#3110	2
#2966	2
#2951	2
C₂×C₄×D₈	2