Subgroups — #61485

Order 256.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3522	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3375	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#3334	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3124	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#559	—	2	2	no	—
21	#559	C₂²	1	2	yes	—
22	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
23	#554	—	2	2	no	—
24	#554	C₂²	1	2	yes	—
25	#550	C₂²	1	2	yes	—
26	#548	C₂²	1	4	yes	—
27	#547	—	2	4	no	—
28	#547	C₂²	1	4	yes	—
29	#542	—	2	4	no	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	—
31	#532	—	2	2	no	—
32	#532	C₂²	1	2	yes	—
33	#529	—	2	2	no	—
34	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#520	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#500	C₂²	1	2	yes	—
38	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#495	C₂²	1	2	yes	—
40	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#489	C₂²	1	4	yes	—
42	#486	C₂²	1	2	yes	—
43	#484	C₂²	1	4	yes	—
44	#480	C₂²	1	4	yes	—
45	#480	C₂²	1	4	yes	—
46	#477	C₂²	1	2	yes	—
47	#477	C₂²	1	2	yes	—
48	#477	C₂²	1	4	yes	—
49	#474	C₂²	1	4	yes	—
50	#468	C₂²	1	4	yes	—
51	#467	C₂²	1	2	yes	—
52	#466	C₂²	1	2	yes	—
53	#466	C₂²	1	2	yes	—
54	#466	C₂²	1	2	yes	—
55	#464	C₂²	1	4	yes	—
56	#463	C₂²	1	4	yes	—
57	#460	C₂²	1	2	yes	—
58	#460	C₂²	1	2	yes	—
59	#452	C₂²	1	4	yes	—
60	#449	C₂²	1	4	yes	—
61	#448	C₂²	1	4	yes	—
62	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#440	C₂²	1	4	yes	—
65	#440	C₂²	1	4	yes	—
66	#440	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
77	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#435	C₂²	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#433	C₂²	1	2	yes	—
82	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
85	#417	C₂²	1	4	yes	—
86	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
87	#405	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#135	—	2	8	no	—
94	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#127	—	2	2	no	—
111	#127	C₂³	1	2	yes	—
112	#126	—	2	4	no	—
113	#126	D₄	1	2	yes	—
114	#125	—	2	2	no	—
115	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#124	—	2	2	no	—
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	2	no	—
120	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
121	#124	C₂³	1	4	yes	—
122	#123	—	2	4	no	—
123	#123	—	2	4	no	—
124	#123	—	2	4	no	—
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	D₄	1	2	yes	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	#121	—	2	4	no	—
134	#121	—	2	2	no	—
135	#121	—	2	4	no	—
136	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
137	#121	C₂³	1	4	yes	—
138	#121	C₂³	1	4	yes	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
145	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#107	C₂³	1	2	yes	—
169	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	#107	C₂³	1	2	yes	—
171	#107	C₂³	1	4	yes	—
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	#103	C₂³	1	2	yes	—
179	#103	C₂³	1	2	yes	—
180	#103	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#102	C₂³	1	4	yes	—
185	#102	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	4	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
191	#97	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	8	4	no	—
201	#41	—	8	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	Q₁₆	—	2	4	no	—
229	Q₁₆	—	2	2	no	—
230	Q₁₆	#41	1	4	yes	complemented
231	SD₁₆	—	2	8	no	—
232	SD₁₆	—	4	4	no	—
233	D₈	—	2	4	no	—
234	D₈	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
256	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	2	no	—
290	Q₈	—	2	2	no	—
291	Q₈	—	2	2	no	—
292	Q₈	—	2	2	no	—
293	Q₈	—	4	4	no	—
294	Q₈	—	8	2	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	4	no	—
300	D₄	—	2	4	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	1	no	—
334	C₈	—	2	1	no	—
335	C₈	—	2	1	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	#576	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	#578	1	2	yes	—
361	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	—	8	4	no	—
366	C₂	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3522	C₂	semidirect
2. #3396	C₂	semidirect
3. Q₈×Q₁₆	C₂	semidirect
4. #3375	C₂	semidirect
5. #3338	C₂	semidirect
6. #3334	C₂	semidirect
7. #3333	C₂	semidirect
8. #3308	C₂	semidirect
9. #3287	C₂	semidirect
10. #3285	C₂	semidirect
11. #3175	C₂	semidirect
12. #3169	C₂	semidirect
13. #3124	C₂	semidirect
14. #3112	C₂	semidirect
15. #2966	C₂	semidirect
16. #2951	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×Q₁₆	C₂	semidirect
230. Q₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3522	2
#3396	2
Q₈×Q₁₆	2
#3375	2
#3338	2
#3334	2
#3333	2
#3308	2
#3287	2
#3285	2
#3175	2
#3169	2
#3124	2
#3112	2
#2966	2
#2951	2
C₂×C₄×Q₁₆	2