Subgroups — #61565

Order 256.

1071 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3303	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3302	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3284	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3283	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#135	C₂²	1	8	yes	complemented
16	#559	—	2	2	no	—
17	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#555	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#553	—	2	2	no	—
20	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#547	—	2	2	no	—
22	#547	—	2	2	no	—
23	#547	C₂²	1	4	yes	—
24	#547	C₂²	1	4	yes	—
25	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#538	—	2	2	no	—
27	#535	—	2	1	no	—
28	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#525	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#123	—	2	2	no	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#121	—	2	1	no	—
35	#520	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
39	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#483	C₂²	1	2	yes	—
45	#480	C₂²	1	2	yes	—
46	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#467	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#459	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#451	C₂²	1	4	yes	—
57	#450	C₂²	1	2	yes	—
58	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#448	C₂²	1	4	yes	—
60	#447	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
63	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
64	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
69	C₂×#41	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	4	8	no	—
72	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	#135	—	4	16	no	—
82	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
88	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
89	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#127	—	2	2	no	—
95	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#126	—	2	4	no	—
97	#125	—	2	1	no	—
98	#124	—	2	2	no	—
99	#124	—	2	4	no	—
100	#124	—	2	1	no	—
101	#123	—	2	4	no	—
102	#123	—	2	8	no	—
103	#123	—	2	8	no	—
104	#123	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#121	—	2	4	no	—
111	#121	—	2	4	no	—
112	#121	—	2	2	no	—
113	#121	—	2	2	no	—
114	#121	—	2	1	no	—
115	#121	—	2	4	no	—
116	#121	C₂³	1	2	yes	—
117	#121	C₂³	1	4	yes	—
118	#120	—	2	4	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	2	no	—
125	C₄×D₄	—	2	1	no	—
126	C₄×D₄	—	2	1	no	—
127	C₄×D₄	—	2	1	no	—
128	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
129	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
130	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
135	#117	—	2	1	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	#107	C₂³	1	4	yes	—
151	#106	C₂³	1	4	yes	—
152	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
154	#103	C₂³	1	8	yes	—
155	#103	C₂³	1	8	yes	—
156	#103	C₂³	1	4	yes	—
157	#102	C₂³	1	4	yes	—
158	#102	C₂³	1	4	yes	—
159	#102	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
163	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂⁴	—	2	1	no	—
166	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	#41	—	2	16	no	—
168	#41	—	4	8	no	—
169	#41	—	4	8	no	—
170	#41	—	4	16	no	—
171	#41	—	4	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	1	no	—
185	C₂×D₄	—	2	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	Q₁₆	—	4	8	no	—
209	SD₁₆	—	2	8	no	—
210	SD₁₆	—	4	8	no	—
211	D₈	—	2	8	no	—
212	C₂×C₈	—	4	8	no	—
213	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	2	4	no	—
261	Q₈	—	2	8	no	—
262	Q₈	—	4	4	no	—
263	Q₈	—	4	2	no	—
264	Q₈	—	8	1	no	—
265	D₄	—	2	4	no	—
266	D₄	—	2	4	no	—
267	D₄	—	2	4	no	—
268	D₄	—	2	2	no	—
269	D₄	—	2	4	no	—
270	D₄	—	4	16	no	—
271	D₄	—	4	4	no	—
272	D₄	—	4	2	no	—
273	D₄	—	8	1	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	D₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	1	no	—
287	C₂×C₄	—	4	16	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	#135	1	4	yes	complemented
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	4	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
329	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
330	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	4	4	no	—
333	C₂	—	4	4	no	—
334	C₂	—	8	2	no	—
335	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. C₂×#547	C₂	semidirect
3. #3303	C₂	semidirect
4. #3302	C₂	semidirect
5. #3284	C₂	semidirect
6. #3283	C₂	semidirect
7. #3209	C₂	semidirect
8. #3206	C₂	semidirect
9. #3190	C₂	semidirect
10. #3101	C₂	semidirect
11. #3100	C₂	semidirect
12. #3002	C₂	semidirect
13. #2972	C₂	semidirect
15. C₂×#135	C₂²	semidirect
17. #556	C₂²	semidirect
18. #555	C₂²	semidirect
20. #550	C₂²	semidirect
25. #547	C₂²	semidirect
39. #494	C₂²	semidirect
40. #492	C₂²	semidirect
41. #487	C₂²	semidirect
42. #487	C₂²	semidirect
43. #485	C₂²	semidirect
46. #476	C₂²	semidirect
47. #474	C₂²	semidirect
48. #467	C₂²	semidirect
49. #465	C₂²	semidirect
50. #462	C₂²	semidirect
51. #461	C₂²	semidirect
52. #461	C₂²	semidirect
53. #459	C₂²	semidirect
54. #452	C₂²	semidirect
55. #452	C₂²	semidirect
58. #449	C₂²	semidirect
61. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
62. C₄×D₈	C₂²	semidirect
63. C₈×D₄	C₂²	semidirect
64. C₈×D₄	C₂²	semidirect
67. #416	C₂²	semidirect
294. C₂×C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
C₂×#547	2
#3303	2
#3302	2
#3284	2
#3283	2
#3209	2
#3206	2
#3190	2
#3101	2
#3100	2
#3002	2
#2972	2