Subgroups — #61569

Order 256.

1257 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3306	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3264	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3192	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3109	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3006	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#547	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#546	—	2	4	no	—
19	#546	—	2	4	no	—
20	#546	C₂²	1	8	yes	complemented
21	D₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#537	—	2	1	no	—
23	#534	—	2	1	no	—
24	#534	—	2	1	no	—
25	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#123	—	2	1	no	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#121	—	2	1	no	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#120	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
37	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#469	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#442	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#435	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₂⁵	—	2	1	no	—
62	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	2	2	no	—
66	C₂×#41	—	4	4	no	—
67	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
77	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
83	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
89	C₂×D₈	—	4	8	no	—
90	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
93	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	complemented
95	#127	C₂³	1	2	yes	complemented
96	#124	—	2	2	no	—
97	#124	—	2	2	no	—
98	#124	C₂³	1	4	yes	—
99	#123	—	2	8	no	—
100	#123	—	2	4	no	—
101	#123	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#121	—	2	2	no	—
106	#121	—	2	2	no	—
107	#121	—	2	2	no	—
108	#121	—	2	2	no	—
109	#121	—	2	2	no	—
110	#121	—	2	2	no	—
111	#121	—	2	4	no	—
112	#121	—	2	8	no	—
113	#121	C₂³	1	4	yes	—
114	#121	C₂³	1	4	yes	—
115	#121	C₂³	1	4	yes	—
116	#121	C₂³	1	4	yes	complemented
117	#120	—	2	8	no	—
118	#120	—	2	4	no	—
119	#120	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
123	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	#106	C₂³	1	8	yes	complemented
143	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
144	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
145	#102	C₂³	1	8	yes	—
146	#102	C₂³	1	8	yes	—
147	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
148	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
151	#97	C₂³	1	4	yes	complemented
152	C₂⁴	—	2	1	no	—
153	C₂⁴	—	2	1	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	—	8	2	no	—
160	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	#41	—	2	8	no	—
163	#41	—	4	4	no	—
164	#41	—	4	8	no	—
165	#41	—	4	8	no	—
166	#41	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	1	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	16	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	8	2	no	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	SD₁₆	—	4	8	no	—
222	D₈	—	2	16	no	—
223	D₈	—	4	8	no	—
224	M₁₆	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	4	1	no	—
254	C₂³	—	4	1	no	—
255	C₂³	—	4	1	no	—
256	C₂³	—	4	1	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	16	no	—
272	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
273	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	2	4	no	—
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	4	4	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	2	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	4	2	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	2	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	16	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	16	4	no	—
344	C₂²	—	16	4	no	—
345	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
346	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	2	4	no	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	—	4	4	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	—	8	4	no	—
363	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3496	C₂	semidirect
2. C₂×#546	C₂	semidirect
3. #3306	C₂	semidirect
4. #3264	C₂	semidirect
5. #3213	C₂	semidirect
6. #3192	C₂	semidirect
7. #3187	C₂	semidirect
8. #3109	C₂	semidirect
9. #3006	C₂	semidirect
10. C₂×#447	C₂	semidirect
11. #2973	C₂	semidirect
13. C₂²×#41	C₂²	semidirect
14. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
16. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
17. #547	C₂²	semidirect
20. #546	C₂²	semidirect
21. D₄²	C₂²	semidirect
25. #532	C₂²	semidirect
26. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
32. C₂×#121	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
37. #496	C₂²	semidirect
38. #489	C₂²	semidirect
39. #483	C₂²	semidirect
40. #481	C₂²	semidirect
41. #481	C₂²	semidirect
42. #476	C₂²	semidirect
43. #469	C₂²	semidirect
44. #465	C₂²	semidirect
45. #463	C₂²	semidirect
46. #459	C₂²	semidirect
47. #450	C₂²	semidirect
48. #449	C₂²	semidirect
49. #448	C₂²	semidirect
50. #447	C₂²	semidirect
51. #447	C₂²	semidirect
52. #447	C₂²	semidirect
53. #447	C₂²	semidirect
54. #442	C₂²	semidirect
55. #435	C₂²	semidirect
56. #432	C₂²	semidirect
57. #417	C₂²	semidirect
58. C₂×#102	C₂²	semidirect
59. #407	C₂²	semidirect
60. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
82. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
88. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
92. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
94. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
95. #127	C₂³	semidirect
116. #121	C₂³	semidirect
125. C₄×D₄	C₂³	semidirect
130. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
142. #106	C₂³	semidirect
143. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
144. #103	C₂³	semidirect
147. #102	C₂³	semidirect
150. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
151. #97	C₂³	semidirect
272. C₂³	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
295. D₄	H(5,𝔽₂)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3496	2
C₂×#546	2
#3306	2
#3264	2
#3213	2
#3192	2
#3187	2
#3109	2
#3006	2
C₂×#447	2
#2973	2