Subgroups — #61572

Order 256.

1187 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3308	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3265	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3006	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#548	—	2	4	no	—
18	#548	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#547	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#546	—	2	4	no	—
21	D₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#537	—	2	1	no	—
23	#534	—	2	1	no	—
24	#534	—	2	1	no	—
25	#532	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	—	2	1	no	—
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#121	—	2	1	no	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#448	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#440	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#435	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
61	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	—	2	2	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	4	4	no	—
66	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
87	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#127	C₂³	1	2	yes	—
95	#124	—	2	8	no	—
96	#124	—	2	2	no	—
97	#124	—	2	2	no	—
98	#124	C₂³	1	4	yes	—
99	#123	—	2	4	no	—
100	#123	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	2	no	—
107	#121	—	2	2	no	—
108	#121	—	2	2	no	—
109	#121	—	2	2	no	—
110	#121	—	2	2	no	—
111	#121	—	2	2	no	—
112	#121	—	2	4	no	—
113	#121	C₂³	1	4	yes	—
114	#121	C₂³	1	4	yes	—
115	#121	C₂³	1	4	yes	—
116	#121	C₂³	1	4	yes	—
117	#120	—	2	4	no	—
118	#120	—	2	4	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄×D₄	—	2	8	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
124	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	#107	C₂³	1	8	yes	—
143	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
144	#103	C₂³	1	8	yes	—
145	#103	C₂³	1	8	yes	—
146	#102	C₂³	1	8	yes	—
147	#102	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
151	#97	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂⁴	—	2	1	no	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	#41	—	2	8	no	—
158	#41	—	4	4	no	—
159	#41	—	4	8	no	—
160	#41	—	4	16	no	—
161	#41	—	4	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	1	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	SD₁₆	—	2	16	no	—
218	SD₁₆	—	4	8	no	—
219	D₈	—	4	8	no	—
220	M₁₆	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	4	1	no	—
249	C₂³	—	4	1	no	—
250	C₂³	—	4	1	no	—
251	C₂³	—	4	1	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
262	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	2	4	no	—
266	Q₈	—	2	2	no	—
267	Q₈	—	2	4	no	—
268	Q₈	—	4	8	no	—
269	Q₈	—	4	2	no	—
270	Q₈	—	4	4	no	—
271	Q₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
272	D₄	—	2	8	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	2	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	2	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	8	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	8	2	no	—
283	D₄	—	8	2	no	—
284	D₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	1	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	16	4	no	—
330	C₂²	—	16	4	no	—
331	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
333	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	2	4	no	—
346	C₂	—	4	2	no	—
347	C₂	—	8	2	no	—
348	C₂	—	8	4	no	—
349	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3496	C₂	semidirect
2. C₂×#548	C₂	semidirect
3. #3308	C₂	semidirect
4. #3265	C₂	semidirect
5. #3213	C₂	semidirect
6. #3193	C₂	semidirect
7. #3186	C₂	semidirect
8. #3112	C₂	semidirect
9. #3006	C₂	semidirect
10. C₂×#448	C₂	semidirect
11. #2973	C₂	semidirect
13. C₂²×#41	C₂²	semidirect
14. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
16. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
18. #548	C₂²	semidirect
19. #547	C₂²	semidirect
21. D₄²	C₂²	semidirect
27. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
37. #496	C₂²	semidirect
38. #489	C₂²	semidirect
39. #484	C₂²	semidirect
40. #480	C₂²	semidirect
41. #480	C₂²	semidirect
42. #477	C₂²	semidirect
43. #468	C₂²	semidirect
44. #466	C₂²	semidirect
45. #463	C₂²	semidirect
46. #460	C₂²	semidirect
47. #450	C₂²	semidirect
48. #449	C₂²	semidirect
49. #448	C₂²	semidirect
50. #448	C₂²	semidirect
51. #448	C₂²	semidirect
52. #447	C₂²	semidirect
53. #447	C₂²	semidirect
54. #440	C₂²	semidirect
55. #435	C₂²	semidirect
56. #432	C₂²	semidirect
57. #417	C₂²	semidirect
58. C₂×#103	C₂²	semidirect
59. #407	C₂²	semidirect
60. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
261. C₂³	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
271. Q₈	H(5,𝔽₂)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3496	2
C₂×#548	2
#3308	2
#3265	2
#3213	2
#3193	2
#3186	2
#3112	2
#3006	2
C₂×#448	2
#2973	2