Subgroups — #61582

Order 256.

1285 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3325	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3274	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3272	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3194	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3003	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#559	—	2	2	no	—
18	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#555	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#553	—	2	2	no	—
21	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
23	D₄²	—	2	2	no	—
24	D₄²	—	2	2	no	—
25	D₄²	C₂²	1	4	yes	—
26	D₄²	C₂²	1	4	yes	—
27	#538	—	2	2	no	—
28	#535	—	2	1	no	—
29	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#121	—	2	1	no	—
34	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#120	—	2	2	no	—
36	#520	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#483	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#480	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#469	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#459	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#450	C₂²	1	2	yes	—
55	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#447	C₂²	1	2	yes	—
59	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
61	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#436	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#436	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#418	C₂²	1	8	yes	complemented
68	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
69	C₂⁵	—	2	2	no	—
70	C₂×#41	—	2	1	no	—
71	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	complemented
72	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
90	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	complemented
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
93	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
94	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
95	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
96	#127	—	2	2	no	—
97	#127	—	2	1	no	—
98	#127	—	2	1	no	—
99	#127	C₂³	1	2	yes	—
100	#127	C₂³	1	2	yes	—
101	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
102	#126	—	2	4	no	—
103	#125	—	2	1	no	—
104	#124	—	2	2	no	—
105	#124	—	2	4	no	—
106	#124	—	2	1	no	—
107	#123	—	2	4	no	—
108	#123	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
112	#121	—	2	2	no	—
113	#121	—	2	2	no	—
114	#121	—	2	4	no	—
115	#121	—	2	1	no	—
116	#121	—	2	4	no	—
117	#121	—	2	4	no	—
118	#121	—	2	4	no	—
119	#121	C₂³	1	8	yes	—
120	#121	C₂³	1	2	yes	—
121	#121	C₂³	1	4	yes	complemented
122	#120	—	2	4	no	—
123	#120	—	2	8	no	—
124	#120	—	2	8	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	complemented
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	1	no	—
132	C₄×D₄	—	2	1	no	—
133	C₄×D₄	—	2	1	no	—
134	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
135	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
136	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
141	#117	—	2	1	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	C₂³	1	4	yes	complemented
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	#107	C₂³	1	4	yes	complemented
152	#106	C₂³	1	4	yes	complemented
153	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
154	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
155	#103	C₂³	1	4	yes	complemented
156	#102	C₂³	1	4	yes	—
157	#102	C₂³	1	4	yes	—
158	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
159	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
160	#102	C₂³	1	4	yes	complemented
161	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
164	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
165	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
166	C₂⁴	—	2	1	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	4	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	8	no	—
171	C₂⁴	—	8	4	no	—
172	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	#41	—	4	8	no	—
174	#41	—	4	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
177	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	1	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	4	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	8	2	no	—
203	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	SD₁₆	—	2	8	no	—
222	SD₁₆	—	4	8	no	—
223	D₈	—	2	8	no	—
224	D₈	—	4	8	no	—
225	M₁₆	—	4	8	no	—
226	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	—	8	32	no	—
274	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	2	4	no	—
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	8	1	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	4	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	8	no	—
285	D₄	—	4	16	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	16	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	8	1	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	—	8	32	no	—
340	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
351	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
352	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
353	C₂	—	2	2	no	—
354	C₂	—	4	4	no	—
355	C₂	—	4	4	no	—
356	C₂	—	8	2	no	—
357	C₂	—	8	4	no	—
358	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. C₂×D₄²	C₂	semidirect
3. #3325	C₂	semidirect
4. #3324	C₂	semidirect
5. #3274	C₂	semidirect
6. #3272	C₂	semidirect
7. #3208	C₂	semidirect
8. #3205	C₂	semidirect
9. #3194	C₂	semidirect
10. #3101	C₂	semidirect
11. #3100	C₂	semidirect
12. #3003	C₂	semidirect
13. #2975	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
18. #556	C₂²	semidirect
19. #555	C₂²	semidirect
21. #550	C₂²	semidirect
22. #547	C₂²	semidirect
29. #533	C₂²	semidirect
30. #532	C₂²	semidirect
32. #525	C₂²	semidirect
39. #493	C₂²	semidirect
40. #492	C₂²	semidirect
41. #486	C₂²	semidirect
42. #486	C₂²	semidirect
43. #483	C₂²	semidirect
44. #482	C₂²	semidirect
45. #480	C₂²	semidirect
46. #476	C₂²	semidirect
47. #474	C₂²	semidirect
48. #469	C₂²	semidirect
49. #468	C₂²	semidirect
50. #461	C₂²	semidirect
51. #460	C₂²	semidirect
52. #459	C₂²	semidirect
53. #459	C₂²	semidirect
55. #450	C₂²	semidirect
56. #450	C₂²	semidirect
57. #449	C₂²	semidirect
59. #447	C₂²	semidirect
60. #447	C₂²	semidirect
61. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
62. C₄×D₈	C₂²	semidirect
63. #436	C₂²	semidirect
64. #436	C₂²	semidirect
65. #431	C₂²	semidirect
66. #431	C₂²	semidirect
67. #418	C₂²	semidirect
68. #407	C₂²	semidirect
71. C₂×#41	C₂³	semidirect
89. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
91. C₂×D₈	C₂³	semidirect
92. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
93. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
94. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
95. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
101. #127	C₂³	semidirect
111. C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
121. #121	C₂³	semidirect
127. C₄×Q₈	C₂³	semidirect
140. C₄×D₄	C₂³	semidirect
143. #117	C₂³	semidirect
151. #107	C₂³	semidirect
152. #106	C₂³	semidirect
153. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
154. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
155. #103	C₂³	semidirect
158. #102	C₂³	semidirect
159. #102	C₂³	semidirect
160. #102	C₂³	semidirect
163. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
164. C₄×C₈	C₂³	semidirect
165. C₄×C₈	C₂³	semidirect
312. C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
C₂×D₄²	2
#3325	2
#3324	2
#3274	2
#3272	2
#3208	2
#3205	2
#3194	2
#3101	2
#3100	2
#3003	2
#2975	2