Subgroups — #616153

Order 512.

9978 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2856	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2408	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#15127	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#15124	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#14713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#14686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13902	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂²×#127	—	2	8	no	—
12	C₂²×#127	—	2	16	no	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#121	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂²×#120	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2856	—	2	16	no	—
21	#2408	—	2	48	no	—
22	C₂×#394	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#392	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
27	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂×#379	C₂²	1	12	yes	—
30	C₄²×D₄	—	2	8	no	—
31	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#1438	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	complemented
37	C₂⁶	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	48	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
42	C₂³×D₄	—	4	24	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
49	C₂×#127	—	2	128	no	—
50	C₂×#127	—	2	48	no	—
51	C₂×#127	—	2	24	no	—
52	C₂×#127	—	2	8	no	—
53	C₂×#127	—	2	8	no	—
54	C₂×#127	D₄	1	16	yes	complemented
55	C₂×#121	—	2	48	no	—
56	C₂×#121	—	2	48	no	—
57	C₂×#121	—	4	24	no	—
58	C₂×#120	—	2	48	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
61	C₂×C₄×D₄	D₄	1	24	yes	complemented
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#394	—	2	48	no	—
80	#392	—	2	48	no	—
81	#390	—	2	48	no	—
82	#390	—	2	48	no	—
83	#390	—	4	24	no	—
84	#384	—	2	8	no	—
85	#380	—	2	24	no	—
86	#379	—	2	48	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
90	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
92	C₄³	—	2	4	no	—
93	C₂⁵	—	2	16	no	—
94	C₂⁵	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	2	24	no	—
96	C₂⁵	—	2	24	no	—
97	C₂⁵	—	4	24	no	—
98	C₂⁵	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	192	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	192	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
133	C₂³×C₄	#41	1	12	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	#127	—	2	192	no	—
141	#127	—	2	64	no	—
142	#121	—	4	192	no	—
143	#120	—	4	64	no	—
144	C₄×D₄	—	2	96	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
164	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
177	#95	—	2	12	no	—
178	#95	—	2	24	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	6	no	—
181	C₂⁴	—	2	1	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	2	3	no	—
184	C₂⁴	—	2	6	no	—
185	C₂⁴	—	2	32	no	—
186	C₂⁴	—	2	24	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	24	no	—
190	C₂⁴	—	2	24	no	—
191	C₂⁴	—	2	24	no	—
192	C₂⁴	—	4	96	no	—
193	C₂⁴	—	4	96	no	—
194	C₂⁴	—	4	48	no	—
195	C₂⁴	—	4	48	no	—
196	C₂⁴	—	4	16	no	—
197	C₂⁴	—	4	48	no	—
198	C₂⁴	—	8	48	no	—
199	C₂⁴	—	8	48	no	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	16	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
204	C₂⁴	C₂×#41	1	6	yes	—
205	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	2	24	no	—
207	C₂×D₄	—	2	24	no	—
208	C₂×D₄	—	2	96	no	—
209	C₂×D₄	—	2	96	no	—
210	C₂×D₄	—	2	96	no	—
211	C₂×D₄	—	2	96	no	—
212	C₂×D₄	—	4	96	no	—
213	C₂×D₄	—	4	96	no	—
214	C₂×D₄	—	4	48	no	—
215	C₂×D₄	—	4	768	no	—
216	C₂×D₄	—	4	96	no	—
217	C₂×D₄	—	4	32	no	—
218	C₂×D₄	—	4	48	no	—
219	C₂×D₄	—	4	48	no	—
220	C₂×D₄	—	4	48	no	—
221	C₂×D₄	—	4	48	no	—
222	C₂×D₄	—	4	48	no	—
223	C₂×D₄	—	8	48	no	—
224	C₂×D₄	#127	1	16	yes	complemented
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
248	C₂²×C₄	#121	1	48	yes	complemented
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
268	C₄²	—	2	24	no	—
269	C₄²	—	2	24	no	—
270	C₄²	—	4	12	no	—
271	C₄²	—	4	12	no	—
272	C₄²	#120	1	16	yes	complemented
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	6	no	—
275	C₂³	—	2	12	no	—
276	C₂³	—	2	12	no	—
277	C₂³	—	2	12	no	—
278	C₂³	—	2	12	no	—
279	C₂³	—	2	6	no	—
280	C₂³	—	2	6	no	—
281	C₂³	—	2	12	no	—
282	C₂³	—	2	12	no	—
283	C₂³	—	2	16	no	—
284	C₂³	—	2	48	no	—
285	C₂³	—	2	48	no	—
286	C₂³	—	4	192	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	4	3	no	—
289	C₂³	—	4	6	no	—
290	C₂³	—	4	6	no	—
291	C₂³	—	4	24	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	24	no	—
294	C₂³	—	4	24	no	—
295	C₂³	—	4	24	no	—
296	C₂³	—	4	24	no	—
297	C₂³	—	4	24	no	—
298	C₂³	—	4	24	no	—
299	C₂³	—	4	48	no	—
300	C₂³	—	8	64	no	—
301	C₂³	—	8	192	no	—
302	C₂³	—	8	96	no	—
303	C₂³	—	8	32	no	—
304	C₂³	C₂×#121	1	12	yes	—
305	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	complemented
307	C₂³	#532	1	12	yes	—
308	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
311	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
312	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
313	D₄	—	2	32	no	—
314	D₄	—	4	192	no	—
315	D₄	—	4	192	no	—
316	D₄	—	8	64	no	—
317	C₂×C₄	—	2	6	no	—
318	C₂×C₄	—	2	6	no	—
319	C₂×C₄	—	2	6	no	—
320	C₂×C₄	—	2	6	no	—
321	C₂×C₄	—	2	12	no	—
322	C₂×C₄	—	2	12	no	—
323	C₂×C₄	—	2	96	no	—
324	C₂×C₄	—	2	6	no	—
325	C₂×C₄	—	2	6	no	—
326	C₂×C₄	—	2	12	no	—
327	C₂×C₄	—	2	12	no	—
328	C₂×C₄	—	4	3	no	—
329	C₂×C₄	—	4	6	no	—
330	C₂×C₄	—	4	3	no	—
331	C₂×C₄	—	4	6	no	—
332	C₂×C₄	—	4	6	no	—
333	C₂×C₄	—	4	48	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	24	no	—
336	C₂×C₄	—	4	24	no	—
337	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	complemented
341	C₂×C₄	#535	1	12	yes	—
342	C₂×C₄	D₄²	1	24	yes	—
343	C₂×C₄	#546	1	24	yes	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	24	no	—
346	C₂²	—	2	12	no	—
347	C₂²	—	2	12	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	4	12	no	—
351	C₂²	—	4	6	no	—
352	C₂²	—	4	6	no	—
353	C₂²	—	4	16	no	—
354	C₂²	—	4	48	no	—
355	C₂²	—	4	48	no	—
356	C₂²	—	8	128	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	24	no	—
360	C₂²	—	8	24	no	—
361	C₂²	#2856	1	8	yes	complemented
362	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#121	1	3	yes	—
364	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
366	C₂²	C₂×#535	1	3	yes	—
367	C₂²	C₂×D₄²	1	6	yes	—
368	C₂²	C₂×#546	1	6	yes	—
369	C₂²	#3498	1	6	yes	—
370	C₂²	#3508	1	6	yes	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	12	no	—
373	C₄	—	4	6	no	—
374	C₄	—	4	6	no	—
375	C₄	—	8	8	no	—
376	C₄	#2408	1	24	yes	complemented
377	C₂	—	2	8	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	16	no	—
380	C₂	C₂×#2408	1	3	yes	—
381	C₂	#35272	1	3	yes	—
382	C₂	D₄×#127	1	2	yes	—
383	C₂	#36121	1	6	yes	—
384	C₂	C₂×#2856	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#127	C₂	semidirect
2. C₂×#2856	C₂	semidirect
3. C₂×#2408	C₂	semidirect
4. C₂×C₄²×D₄	C₂	semidirect
5. #15127	C₂	semidirect
6. #15124	C₂	semidirect
7. #14713	C₂	semidirect
8. #14686	C₂	semidirect
9. #13902	C₂	semidirect
15. C₂²×#121	C₂²	semidirect
19. C₂³×C₄²	C₂²	semidirect
22. C₂×#394	C₂²	semidirect
23. C₂×#392	C₂²	semidirect
24. C₂×#390	C₂²	semidirect
25. C₂×#390	C₂²	semidirect
26. C₂×#390	C₂²	semidirect
27. C₂×#384	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
35. #1438	C₂²	semidirect
36. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
54. C₂×#127	D₄	semidirect
61. C₂×C₄×D₄	D₄	semidirect
73. C₂²×C₄²	D₄	semidirect
132. C₂³×C₄	C₂×D₄	semidirect
150. C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
163. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
176. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect
224. C₂×D₄	#127	semidirect
248. C₂²×C₄	#121	semidirect
272. C₄²	#120	semidirect
306. C₂³	C₂×#127	semidirect
340. C₂×C₄	C₂×#127	semidirect
361. C₂²	#2856	semidirect
376. C₄	#2408	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#127	2
C₂×#2856	2
C₂×#2408	2
C₂×C₄²×D₄	2
#15127	2
#15124	2
#14713	2
#14686	2
#13902	2