Subgroups — #616165

Order 512.

4542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2422	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#15136	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#15130	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#14712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#14692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#14686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13977	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
11	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#123	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#121	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2856	—	2	8	no	—
18	#2422	—	2	48	no	—
19	C₂×#397	C₂²	1	12	yes	—
20	C₂×#394	C₂²	1	12	yes	—
21	C₄×#127	—	2	8	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#385	C₂²	1	12	yes	—
28	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
30	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
33	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
34	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
35	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
36	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1439	C₂²	1	24	yes	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
40	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
41	C₄×#95	C₂²	1	3	yes	—
42	C₄×#95	C₂²	1	3	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#127	—	2	4	no	—
48	C₂×#127	—	2	4	no	—
49	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×#123	—	2	48	no	—
51	C₂×#121	—	2	24	no	—
52	C₂×#121	—	2	24	no	—
53	C₂×#121	—	4	12	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	4	12	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#397	—	2	48	no	—
80	#394	—	2	48	no	—
81	#390	—	2	24	no	—
82	#390	—	2	24	no	—
83	#390	—	2	24	no	—
84	#390	—	2	24	no	—
85	#389	—	2	24	no	—
86	#385	—	2	48	no	—
87	#384	—	2	4	no	—
88	#384	—	2	4	no	—
89	#384	—	2	24	no	—
90	#384	—	2	4	no	—
91	#384	—	4	12	no	—
92	#380	—	2	24	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	24	yes	complemented
95	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
99	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
100	C₄³	—	2	4	no	—
101	C₄³	—	2	4	no	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
133	#127	—	2	32	no	—
134	#123	—	4	64	no	—
135	#121	—	4	96	no	—
136	C₄×D₄	—	4	96	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	12	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
182	#95	—	2	24	no	—
183	#95	—	2	24	no	—
184	#95	—	2	12	no	—
185	#95	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	#95	C₂×D₄	1	12	yes	—
187	C₂⁴	—	2	1	no	—
188	C₂⁴	—	2	3	no	—
189	C₂⁴	—	2	1	no	—
190	C₂⁴	—	2	1	no	—
191	C₂⁴	—	2	3	no	—
192	C₂⁴	—	2	3	no	—
193	C₂⁴	—	2	12	no	—
194	C₂⁴	—	2	12	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	2	12	no	—
198	C₂⁴	—	2	12	no	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
201	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
202	C₂×D₄	—	2	48	no	—
203	C₂×D₄	—	2	48	no	—
204	C₂×D₄	—	2	48	no	—
205	C₂×D₄	—	4	48	no	—
206	C₂×D₄	—	4	16	no	—
207	C₂×D₄	—	4	24	no	—
208	C₂×D₄	—	4	24	no	—
209	C₂×D₄	—	4	24	no	—
210	C₂×D₄	—	4	24	no	—
211	C₂×D₄	—	8	24	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	24	no	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
260	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	24	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
273	C₂²⋊C₄	#127	1	16	yes	complemented
274	C₄²	—	2	24	no	—
275	C₄²	—	2	24	no	—
276	C₄²	—	2	24	no	—
277	C₄²	—	4	12	no	—
278	C₄²	—	4	12	no	—
279	C₄²	#123	1	16	yes	complemented
280	C₂³	—	2	6	no	—
281	C₂³	—	2	6	no	—
282	C₂³	—	2	6	no	—
283	C₂³	—	2	6	no	—
284	C₂³	—	2	6	no	—
285	C₂³	—	2	6	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	24	no	—
288	C₂³	—	2	24	no	—
289	C₂³	—	4	1	no	—
290	C₂³	—	4	3	no	—
291	C₂³	—	4	3	no	—
292	C₂³	—	4	3	no	—
293	C₂³	—	4	6	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	12	no	—
296	C₂³	—	4	12	no	—
297	C₂³	—	4	12	no	—
298	C₂³	—	4	12	no	—
299	C₂³	—	4	12	no	—
300	C₂³	—	4	12	no	—
301	C₂³	—	4	12	no	—
302	C₂³	—	4	24	no	—
303	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
304	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
306	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
309	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
310	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
311	D₄	—	4	96	no	—
312	D₄	—	8	32	no	—
313	C₂×C₄	—	2	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	6	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	2	12	no	—
317	C₂×C₄	—	2	6	no	—
318	C₂×C₄	—	2	6	no	—
319	C₂×C₄	—	2	6	no	—
320	C₂×C₄	—	2	12	no	—
321	C₂×C₄	—	2	6	no	—
322	C₂×C₄	—	2	6	no	—
323	C₂×C₄	—	2	6	no	—
324	C₂×C₄	—	2	6	no	—
325	C₂×C₄	—	2	6	no	—
326	C₂×C₄	—	2	6	no	—
327	C₂×C₄	—	4	3	no	—
328	C₂×C₄	—	4	3	no	—
329	C₂×C₄	—	4	6	no	—
330	C₂×C₄	—	4	3	no	—
331	C₂×C₄	—	4	3	no	—
332	C₂×C₄	—	4	6	no	—
333	C₂×C₄	—	4	48	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	12	no	—
338	C₂×C₄	—	4	12	no	—
339	C₂×C₄	—	4	12	no	—
340	C₂×C₄	—	4	12	no	—
341	C₂×C₄	—	4	12	no	—
342	C₂×C₄	—	4	12	no	—
343	C₂×C₄	—	8	32	no	—
344	C₂×C₄	C₂×#123	1	12	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#532	1	12	yes	—
348	C₂×C₄	#532	1	12	yes	—
349	C₂×C₄	#542	1	12	yes	—
350	C₂×C₄	D₄²	1	12	yes	—
351	C₂×C₄	#547	1	12	yes	—
352	C₂×C₄	#547	1	12	yes	—
353	C₂×C₄	#553	1	12	yes	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	6	no	—
358	C₂²	—	4	6	no	—
359	C₂²	—	4	6	no	—
360	C₂²	—	4	6	no	—
361	C₂²	—	4	8	no	—
362	C₂²	—	4	24	no	—
363	C₂²	—	4	24	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	12	no	—
367	C₂²	—	8	12	no	—
368	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
371	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
372	C₂²	C₂×#542	1	3	yes	—
373	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
374	C₂²	C₂×#547	1	3	yes	—
375	C₂²	C₂×#547	1	3	yes	—
376	C₂²	C₂×#553	1	3	yes	—
377	C₂²	#3498	1	3	yes	—
378	C₂²	#3499	1	3	yes	—
379	C₂²	#3511	1	6	yes	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	12	no	—
383	C₄	—	4	6	no	—
384	C₄	—	4	6	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	#2422	1	24	yes	complemented
389	C₂	—	4	4	no	—
390	C₂	—	8	8	no	—
391	C₂	C₂×#2422	1	3	yes	—
392	C₂	#35277	1	3	yes	—
393	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#36127	1	3	yes	—
395	C₂	#36179	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#36182	1	3	yes	—
397	C₂	#36644	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2422	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#127	C₂	semidirect
4. #15136	C₂	semidirect
5. #15130	C₂	semidirect
6. #14713	C₂	semidirect
7. #14712	C₂	semidirect
8. #14692	C₂	semidirect
9. #14686	C₂	semidirect
10. #13977	C₂	semidirect
11. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
94. C₄×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
273. C₂²⋊C₄	#127	semidirect
279. C₄²	#123	semidirect
388. C₄	#2422	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2856	2
C₂×#2422	2
C₂×C₄×#127	2
#15136	2
#15130	2
#14713	2
#14712	2
#14692	2
#14686	2
#13977	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2