Subgroups — #616178

Order 512.

5778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2434	C₂	1	4	yes	maximal
5	#15190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#15143	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13880	C₂	1	8	yes	maximal
9	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2868	—	2	16	no	—
22	#2857	—	2	8	no	—
23	#2434	—	2	32	no	—
24	C₂×#395	C₂²	1	16	yes	—
25	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#384	C₂²	1	16	yes	—
31	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
35	#1444	C₂²	1	32	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
37	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#395	—	2	64	no	—
83	#391	—	2	8	no	—
84	#391	—	2	32	no	—
85	#389	—	2	16	no	—
86	#385	—	2	64	no	—
87	#384	—	2	64	no	—
88	#384	—	2	4	no	—
89	#380	—	2	16	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	32	yes	complemented
92	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₄³	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	128	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
175	#95	—	2	16	no	—
176	#95	—	2	64	no	—
177	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
178	#95	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
183	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
185	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	32	yes	complemented
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	32	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	128	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	64	yes	complemented
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	16	no	—
256	C₄²	—	2	32	no	—
257	C₄²	—	2	64	no	—
258	C₄²	#120	1	16	yes	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	16	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	16	no	—
266	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
268	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
269	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂³×Q₈	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
275	Q₈	—	4	64	no	—
276	Q₈	—	4	64	no	—
277	Q₈	—	8	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	32	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	32	no	—
288	C₂×C₄	—	2	32	no	—
289	C₂×C₄	—	2	64	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	32	no	—
292	C₂×C₄	—	4	64	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	32	yes	complemented
310	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
313	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	32	yes	—
314	C₂²	—	2	32	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	#2868	1	8	yes	complemented
320	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	8	yes	—
328	C₂²	#3499	1	4	yes	—
329	C₂²	#3503	1	8	yes	—
330	C₄	—	2	32	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	8	no	—
333	C₄	—	4	16	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	#2433	1	8	yes	—
337	C₄	#2434	1	16	yes	complemented
338	C₂	—	2	8	no	—
339	C₂	C₂×#2433	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#2434	1	2	yes	—
341	C₂	#35281	1	2	yes	—
342	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
343	C₂	D₄×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
344	C₂	C₂×#2868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2868	C₂	semidirect
5. #15190	C₂	semidirect
6. #15143	C₂	semidirect
7. #14714	C₂	semidirect
91. C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	semidirect
174. C₂×C₄²	C₂×Q₈	semidirect
178. #95	C₂×Q₈	semidirect
229. C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
253. C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
309. C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	semidirect
319. C₂²	#2868	semidirect
337. C₄	#2434	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#2868	2
C₂×#2857	2
C₂×#2434	2
#15190	2
#15143	2
#14714	2
#13880	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2