Subgroups — #616179

Order 512.

9026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2435	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#15140	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13902	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×#127	—	2	8	no	—
14	C₂²×#127	—	2	16	no	—
15	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#124	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2858	—	2	16	no	—
22	#2857	—	2	8	no	—
23	#2435	—	2	32	no	—
24	C₂×#394	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#390	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#390	C₂²	1	16	yes	complemented
29	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#379	C₂²	1	16	yes	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1438	C₂²	1	32	yes	complemented
37	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂⁶	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
46	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
47	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
48	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×#127	—	2	128	no	—
58	C₂×#127	—	2	16	no	—
59	C₂×#127	—	2	32	no	—
60	C₂×#127	—	2	16	no	—
61	C₂×#127	—	2	8	no	—
62	C₂×#127	—	2	8	no	—
63	C₂×#127	—	2	8	no	—
64	C₂×#127	D₄	1	16	yes	—
65	C₂×#124	—	2	32	no	—
66	C₂×#124	—	2	32	no	—
67	C₂×#124	—	4	16	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
78	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#394	—	2	64	no	—
86	#391	—	2	8	no	—
87	#390	—	2	64	no	—
88	#390	—	2	32	no	—
89	#390	—	4	32	no	—
90	#389	—	2	16	no	—
91	#384	—	2	4	no	—
92	#380	—	2	16	no	—
93	#379	—	2	64	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	complemented
96	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
99	C₄³	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	2	16	no	—
101	C₂⁵	—	2	8	no	—
102	C₂⁵	—	2	16	no	—
103	C₂⁵	—	2	32	no	—
104	C₂⁵	—	4	8	no	—
105	C₂⁵	—	4	16	no	—
106	C₂⁵	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	256	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
154	#127	—	2	64	no	—
155	#127	—	2	128	no	—
156	#127	—	2	64	no	—
157	#124	—	4	128	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
189	#95	—	2	16	no	—
190	#95	—	2	16	no	—
191	#95	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	32	no	—
196	C₂⁴	—	2	16	no	—
197	C₂⁴	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	8	no	—
199	C₂⁴	—	2	32	no	—
200	C₂⁴	—	2	16	no	—
201	C₂⁴	—	2	32	no	—
202	C₂⁴	—	4	64	no	—
203	C₂⁴	—	4	128	no	—
204	C₂⁴	—	4	16	no	—
205	C₂⁴	—	4	32	no	—
206	C₂⁴	—	4	32	no	—
207	C₂⁴	—	4	16	no	—
208	C₂⁴	—	4	64	no	—
209	C₂⁴	—	8	32	no	—
210	C₂⁴	—	8	64	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	16	yes	—
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
215	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
220	C₂×D₄	—	2	32	no	—
221	C₂×D₄	—	2	64	no	—
222	C₂×D₄	—	2	32	no	—
223	C₂×D₄	—	2	64	no	—
224	C₂×D₄	—	2	64	no	—
225	C₂×D₄	—	2	128	no	—
226	C₂×D₄	—	4	64	no	—
227	C₂×D₄	—	4	128	no	—
228	C₂×D₄	—	4	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	32	no	—
230	C₂×D₄	—	4	256	no	—
231	C₂×D₄	—	4	512	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	—	4	32	no	—
234	C₂×D₄	—	4	16	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	16	no	—
237	C₂×D₄	—	4	32	no	—
238	C₂×D₄	—	4	32	no	—
239	C₂×D₄	—	4	64	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	#124	1	32	yes	complemented
262	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	128	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	2	16	no	—
286	C₄²	—	2	32	no	—
287	C₄²	—	4	32	no	—
288	C₄²	#120	1	16	yes	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	16	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	16	no	—
296	C₂³	—	2	16	no	—
297	C₂³	—	2	32	no	—
298	C₂³	—	2	64	no	—
299	C₂³	—	4	64	no	—
300	C₂³	—	4	128	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	32	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	16	no	—
307	C₂³	—	4	32	no	—
308	C₂³	—	4	32	no	—
309	C₂³	—	4	64	no	—
310	C₂³	—	8	256	no	—
311	C₂³	—	8	32	no	—
312	C₂³	—	8	64	no	—
313	C₂³	—	8	32	no	—
314	C₂³	C₂×#124	1	8	yes	—
315	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
316	C₂³	#532	1	16	yes	—
317	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
323	Q₈	—	8	16	no	—
324	D₄	—	4	64	no	—
325	D₄	—	4	128	no	—
326	D₄	—	4	64	no	—
327	D₄	—	4	128	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	16	no	—
334	C₂×C₄	—	2	32	no	—
335	C₂×C₄	—	2	64	no	—
336	C₂×C₄	—	2	16	no	—
337	C₂×C₄	—	2	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	16	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	16	no	—
347	C₂×C₄	—	4	16	no	—
348	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
357	C₂×C₄	#546	1	32	yes	—
358	C₂²	—	2	32	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	8	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	4	64	no	—
364	C₂²	—	4	16	no	—
365	C₂²	—	4	32	no	—
366	C₂²	—	8	128	no	—
367	C₂²	—	8	8	no	—
368	C₂²	—	8	32	no	—
369	C₂²	—	8	8	no	—
370	C₂²	—	8	16	no	—
371	C₂²	#2858	1	8	yes	complemented
372	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
376	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
379	C₂²	C₂×#546	1	8	yes	—
380	C₂²	#3498	1	4	yes	—
381	C₂²	#3508	1	8	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	8	no	—
384	C₄	—	4	16	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	#2433	1	8	yes	—
388	C₄	#2435	1	16	yes	complemented
389	C₂	—	2	8	no	—
390	C₂	—	8	16	no	—
391	C₂	C₂×#2433	1	1	yes	characteristic
392	C₂	C₂×#2435	1	2	yes	—
393	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#35285	1	2	yes	—
395	C₂	#36121	1	8	yes	—
396	C₂	C₂×#2858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2858	C₂	semidirect
3. C₂×#2857	C₂	semidirect
4. C₂×#2435	C₂	semidirect
5. #15227	C₂	semidirect
6. #15140	C₂	semidirect
7. #14713	C₂	semidirect
8. #13902	C₂	semidirect
9. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂²×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#394	C₂²	semidirect
25. C₂×#391	C₂²	semidirect
26. C₂×#390	C₂²	semidirect
27. C₂×#390	C₂²	semidirect
28. C₂×#390	C₂²	semidirect
29. C₂×#389	C₂²	semidirect
30. C₂×#384	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
36. #1438	C₂²	semidirect
37. C₄×#95	C₂²	semidirect
38. C₄×#95	C₂²	semidirect
95. C₄×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
188. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect
191. #95	C₂×D₄	semidirect
261. C₂²×C₄	#124	semidirect
371. C₂²	#2858	semidirect
388. C₄	#2435	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#127	2
C₂×#2858	2
C₂×#2857	2
C₂×#2435	2
#15227	2
#15140	2
#14713	2
#13902	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2