Subgroups — #616180

Order 512.

6254 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2436	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15243	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#15144	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#14137	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#124	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2858	—	2	16	no	—
23	#2856	—	2	8	no	—
24	#2436	—	2	32	no	—
25	C₂×#393	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#390	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂×#386	C₂²	1	16	yes	—
31	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
35	#1439	C₂²	1	32	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
37	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
59	C₂×#127	—	2	4	no	—
60	C₂×#127	—	2	8	no	—
61	C₂×#124	—	2	32	no	—
62	C₂×#124	—	2	32	no	—
63	C₂×#124	—	4	16	no	—
64	C₂×#121	—	2	16	no	—
65	C₂×#121	—	2	8	no	—
66	C₂×#121	—	2	16	no	—
67	C₂×#121	—	2	32	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#393	—	2	64	no	—
86	#391	—	2	32	no	—
87	#390	—	2	64	no	—
88	#390	—	2	16	no	—
89	#390	—	2	8	no	—
90	#386	—	2	64	no	—
91	#384	—	2	4	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	complemented
94	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
97	C₄³	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
146	#127	—	4	16	no	—
147	#124	—	4	128	no	—
148	#121	—	4	64	no	—
149	#121	—	4	32	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	#95	—	2	64	no	—
183	#95	—	2	16	no	—
184	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	8	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	16	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	16	no	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
195	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
208	C₂×D₄	—	4	32	no	—
209	C₂×D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	64	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	32	no	—
218	C₂×D₄	—	4	64	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	#124	1	32	yes	complemented
245	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	128	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄²	—	2	8	no	—
269	C₄²	—	2	16	no	—
270	C₄²	—	2	32	no	—
271	C₄²	—	4	32	no	—
272	C₄²	#120	1	16	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	16	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	16	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	16	no	—
287	C₂³	—	4	32	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	—	4	32	no	—
290	C₂³	C₂×#124	1	8	yes	—
291	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
292	C₂³	#532	1	16	yes	—
293	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
299	Q₈	—	4	64	no	—
300	Q₈	—	4	64	no	—
301	D₄	—	8	32	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	D₄	—	8	32	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	32	no	—
311	C₂×C₄	—	2	64	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	32	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	4	64	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
335	C₂×C₄	#548	1	32	yes	—
336	C₂²	—	2	32	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	32	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	—	8	8	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	#2858	1	8	yes	complemented
348	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
352	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#548	1	8	yes	—
356	C₂²	#3499	1	4	yes	—
357	C₂²	#3511	1	8	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	8	no	—
360	C₄	—	4	16	no	—
361	C₄	—	4	16	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	#2433	1	8	yes	—
364	C₄	#2436	1	16	yes	complemented
365	C₂	—	2	8	no	—
366	C₂	—	16	4	no	—
367	C₂	C₂×#2433	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂×#2436	1	2	yes	—
369	C₂	#35289	1	2	yes	—
370	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#36122	1	8	yes	—
372	C₂	C₂×#2858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#2858	C₂	semidirect
4. C₂×#2436	C₂	semidirect
5. #15243	C₂	semidirect
6. #15144	C₂	semidirect
7. #14714	C₂	semidirect
8. #14137	C₂	semidirect
9. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
58. C₂×C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
93. C₄×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
244. C₂²×C₄	#124	semidirect
347. C₂²	#2858	semidirect
364. C₄	#2436	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#2858	2
C₂×#2856	2
C₂×#2436	2
#15243	2
#15144	2
#14714	2
#14137	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2