Subgroups — #616223

Order 512.

3730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2502	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15199	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15145	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#14692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13880	C₂	1	8	yes	maximal
9	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2857	—	2	8	no	—
16	#2502	—	2	32	no	—
17	C₂×#398	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂×#384	—	2	8	no	—
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#384	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#384	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
33	#1444	C₂²	1	32	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
35	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#398	—	2	64	no	—
68	#391	—	2	8	no	—
69	#391	—	2	32	no	—
70	#389	—	2	16	no	—
71	#385	—	2	64	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#384	—	2	32	no	—
74	#384	—	2	16	no	—
75	#384	—	2	8	no	—
76	#384	—	2	8	no	—
77	#384	—	4	32	no	—
78	#380	—	2	16	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	32	yes	complemented
81	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
85	C₄³	—	2	8	no	—
86	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	32	yes	—
148	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
149	#95	—	2	16	no	—
150	#95	—	2	64	no	—
151	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
152	#95	C₂×Q₈	1	32	yes	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
159	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
190	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	32	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	32	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
206	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
214	C₄⋊C₄	—	8	64	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	64	yes	complemented
217	C₄²	—	2	8	no	—
218	C₄²	—	2	16	no	—
219	C₄²	—	2	32	no	—
220	C₄²	—	2	64	no	—
221	C₄²	#123	1	16	yes	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	16	no	—
229	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
231	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
232	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂³×Q₈	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	Q₈	—	8	16	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	32	no	—
246	C₂×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂×C₄	—	2	64	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂×C₄	—	8	32	no	—
262	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
264	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	32	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	#547	1	16	yes	—
272	C₂×C₄	#554	1	32	yes	—
273	C₂²	—	2	32	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	8	no	—
277	C₂²	—	2	8	no	—
278	C₂²	#2868	1	8	yes	—
279	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
282	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
284	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×#547	1	4	yes	—
286	C₂²	C₂×#554	1	8	yes	—
287	C₂²	#3498	1	4	yes	—
288	C₂²	#3503	1	8	yes	—
289	C₄	—	2	32	no	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	2	8	no	—
292	C₄	—	8	4	no	—
293	C₄	—	8	4	no	—
294	C₄	—	8	8	no	—
295	C₄	#2501	1	8	yes	—
296	C₄	#2502	1	16	yes	complemented
297	C₂	—	2	8	no	—
298	C₂	C₂×#2501	1	1	yes	characteristic
299	C₂	C₂×#2502	1	2	yes	—
300	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#35281	1	2	yes	—
302	C₂	#36180	1	8	yes	—
303	C₂	C₂×#2868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #15199	C₂	semidirect
5. #15145	C₂	semidirect
6. #14714	C₂	semidirect
7. #14692	C₂	semidirect
80. C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	semidirect
216. C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
296. C₄	#2502	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2857	2
C₂×#2502	2
C₂²×#384	2
#15199	2
#15145	2
#14714	2
#14692	2
#13880	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2