Subgroups — #616260

Order 512.

3798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 240 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2551	C₂	1	6	yes	maximal
3	#15143	C₂	1	12	yes	maximal
4	#14712	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#13910	C₂	1	6	yes	maximal
7	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	12	yes	—
11	#2868	—	2	16	no	—
12	#2551	—	2	48	no	—
13	C₂×#395	C₂²	1	24	yes	—
14	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
15	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
16	C₂×#384	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1444	C₂²	1	24	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
30	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
51	#395	—	2	96	no	—
52	#389	—	2	48	no	—
53	#389	—	2	48	no	—
54	#384	—	2	48	no	—
55	#384	—	2	8	no	—
56	#384	—	2	24	no	—
57	#384	—	4	12	no	—
58	#384	D₄	1	8	yes	—
59	#384	Q₈	1	8	yes	complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	24	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	24	yes	complemented
63	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
65	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
67	C₄³	—	2	8	no	—
68	C₄³	Q₈	1	8	yes	complemented
69	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
71	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
72	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
80	C₄⋊Q₈	—	4	192	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
101	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
108	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	24	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	#95	—	2	24	no	—
118	#95	—	2	48	no	—
119	#95	C₂×D₄	1	24	yes	—
120	#95	C₂×Q₈	1	24	yes	—
121	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Q₈	—	4	96	no	—
123	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
124	C₂×Q₈	—	8	48	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
139	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
155	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
156	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
157	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
159	C₄⋊C₄	—	4	96	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
163	C₄⋊C₄	—	8	24	no	—
164	C₄⋊C₄	#127	1	16	yes	—
165	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	48	yes	complemented
166	C₄²	—	2	24	no	—
167	C₄²	—	2	48	no	—
168	C₄²	—	2	48	no	—
169	C₄²	—	4	16	no	—
170	C₄²	C₄⋊Q₈	1	48	yes	complemented
171	C₄²	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
172	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
173	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂³	C₂³×Q₈	1	3	yes	—
176	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
178	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
179	Q₈	—	8	64	no	—
180	C₂×C₄	—	2	12	no	—
181	C₂×C₄	—	2	12	no	—
182	C₂×C₄	—	2	12	no	—
183	C₂×C₄	—	2	24	no	—
184	C₂×C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄	—	2	12	no	—
186	C₂×C₄	—	2	12	no	—
187	C₂×C₄	—	2	6	no	—
188	C₂×C₄	—	2	24	no	—
189	C₂×C₄	—	2	12	no	—
190	C₂×C₄	—	2	24	no	—
191	C₂×C₄	—	2	24	no	—
192	C₂×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄	—	4	12	no	—
195	C₂×C₄	—	4	12	no	—
196	C₂×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂×C₄	—	4	24	no	—
198	C₂×C₄	—	4	24	no	—
199	C₂×C₄	C₂×#127	1	8	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
202	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	24	yes	—
203	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
204	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
206	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
207	C₂×C₄	#544	1	12	yes	—
208	C₂×C₄	D₄²	1	12	yes	—
209	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	12	yes	—
210	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	12	yes	—
211	C₂×C₄	Q₈²	1	12	yes	—
212	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
213	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	3	yes	—
214	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	3	yes	—
215	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂×#544	1	3	yes	—
217	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
218	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	3	yes	—
219	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	3	yes	—
220	C₂²	C₂×Q₈²	1	3	yes	—
221	C₂²	#3498	1	3	yes	—
222	C₂²	#3499	1	3	yes	—
223	C₂²	#3503	1	6	yes	—
224	C₄	—	2	8	no	—
225	C₄	—	2	24	no	—
226	C₄	—	2	12	no	—
227	C₄	—	4	8	no	—
228	C₄	—	4	8	no	—
229	C₄	—	8	8	no	—
230	C₄	#2551	1	24	yes	complemented
231	C₄	#2868	1	8	yes	complemented
232	C₂	C₂×#2551	1	3	yes	—
233	C₂	#35275	1	3	yes	—
234	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
235	C₂	D₄×C₄⋊Q₈	1	3	yes	—
236	C₂	Q₈×#127	1	1	yes	characteristic
237	C₂	Q₈×C₄⋊Q₈	1	3	yes	—
238	C₂	C₂×#2868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
59. #384	Q₈	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect
68. C₄³	Q₈	semidirect
165. C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
170. C₄²	C₄⋊Q₈	semidirect
171. C₄²	C₄⋊Q₈	semidirect
230. C₄	#2551	semidirect
231. C₄	#2868	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2551	2
#15143	2
#14712	2
#14692	2
#13910	2
C₄×#384	2
C₄²×C₄⋊C₄	2